与えられた2つの和を計算する問題です。 (1) $\sum_{k=1}^{n} 7^{k-1}$ (2) $1+2+3+ \dots +10 + 11^2 + 12^2 + 13^2 + \dots + 20^2$

1. 問題の内容

与えられた2つの和を計算する問題です。

(1) $\sum_{k=1}^{n} 7^{k-1}$

(2) $1+2+3+ \dots +10 + 11^2 + 12^2 + 13^2 + \dots + 20^2$

2. 解き方の手順

(1) は、等比数列の和の公式を用いることができます。

初項 $a = 7^{1-1} = 7^0 = 1$、公比 $r = 7$、項数 $n$ の等比数列の和です。

等比数列の和の公式は、

$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$

なので、

$S_n = \frac{1(7^n - 1)}{7 - 1} = \frac{7^n - 1}{6}$

(2) は、前半の $1$ から $10$ までは等差数列の和、後半の $11^2$ から $20^2$ までは平方数の和として計算します。

$1$ から $10$ までの和は、

$\sum_{k=1}^{10} k = \frac{10(10+1)}{2} = \frac{10 \cdot 11}{2} = 55$

$11^2$ から $20^2$ までの和は、

$\sum_{k=11}^{20} k^2 = \sum_{k=1}^{20} k^2 - \sum_{k=1}^{10} k^2$

ここで、平方数の和の公式は、

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

なので、

$\sum_{k=1}^{20} k^2 = \frac{20(20+1)(2 \cdot 20 + 1)}{6} = \frac{20 \cdot 21 \cdot 41}{6} = \frac{17220}{6} = 2870$

$\sum_{k=1}^{10} k^2 = \frac{10(10+1)(2 \cdot 10 + 1)}{6} = \frac{10 \cdot 11 \cdot 21}{6} = \frac{2310}{6} = 385$

したがって、

$\sum_{k=11}^{20} k^2 = 2870 - 385 = 2485$

求める和は、

$55 + 2485 = 2540$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{7^n - 1}{6}$

(2) $2540$