3次方程式 $x^3 + 3x^2 - 4 = 0$ は実数解を何個持つか。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + 3x^2 - 4 = 0$ は実数解を何個持つか。

2. 解き方の手順

与えられた3次方程式を $f(x) = x^3 + 3x^2 - 4$ とおく。この方程式の実数解の個数を調べるために、まず $f(x)$ を因数分解することを試みる。

$f(1) = 1^3 + 3(1)^2 - 4 = 1 + 3 - 4 = 0$ であるから、$x=1$ は $f(x) = 0$ の解である。したがって、$f(x)$ は $(x-1)$ を因数に持つ。

実際に $f(x)$ を $(x-1)$ で割ると、

$$$$

\begin{array}{c|cccc}

\multicolumn{2}{r}{x^2} & +4x & +4 \\

\cline{2-5}

x-1 & x^3 & +3x^2 & +0x & -4 \\

\multicolumn{2}{r}{x^3} & -x^2 \\

\cline{2-3}

\multicolumn{2}{r}{0} & 4x^2 & +0x \\

\multicolumn{2}{r}{} & 4x^2 & -4x \\

\cline{3-4}

\multicolumn{2}{r}{} & 0 & 4x & -4 \\

\multicolumn{2}{r}{} & & 4x & -4 \\

\cline{4-5}

\multicolumn{2}{r}{} & & 0 & 0 \\

\end{array}

$$$$

となるので、

$f(x) = (x-1)(x^2 + 4x + 4)$ と因数分解できる。

さらに、$x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$ であるから、$f(x) = (x-1)(x+2)^2$ となる。

したがって、与えられた方程式は $(x-1)(x+2)^2 = 0$ となり、解は $x=1$ と $x=-2$ である。$x=-2$ は重解である。

よって、実数解は $x=1$ と $x=-2$ の2個である。

3. 最終的な答え

2個