与えられた4次方程式 $3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + 5 = 0$ が正の解をいくつ持つかを求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた4次方程式 $3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + 5 = 0$ が正の解をいくつ持つかを求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を $f(x)$ と置きます。

$f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + 5$

正の解の個数を調べるために、$f(x)$ の符号の変化を調べます。

$x=0$ のとき、$f(0) = 5 > 0$

$x$ が十分大きいとき、$f(x) > 0$ となります。

次に、$f(x)$ の導関数を求めます。

$f'(x) = 12x^3 - 12x^2 - 24x = 12x(x^2 - x - 2) = 12x(x-2)(x+1)$

$f'(x) = 0$ となる $x$ は、$x = -1, 0, 2$ です。

$f'(x)$ の符号の変化を調べます。

- $x < -1$ のとき、$f'(x) < 0$ なので、$f(x)$ は減少。

- $-1 < x < 0$ のとき、$f'(x) > 0$ なので、$f(x)$ は増加。

- $0 < x < 2$ のとき、$f'(x) < 0$ なので、$f(x)$ は減少。

- $x > 2$ のとき、$f'(x) > 0$ なので、$f(x)$ は増加。

$f(-1) = 3(-1)^4 - 4(-1)^3 - 12(-1)^2 + 5 = 3 + 4 - 12 + 5 = 0$

$f(0) = 5$

$f(2) = 3(2)^4 - 4(2)^3 - 12(2)^2 + 5 = 48 - 32 - 48 + 5 = -27$

$f(x)$ は、$x=-1$ で極小値0をとり、$x=0$ で極大値5をとり、$x=2$ で極小値-27をとります。

$x=-1$ は負の解なので無視します。

$x > 0$ の範囲で、$f(0) = 5 > 0$ であり、$x=2$ で $f(2) = -27 < 0$ であり、十分大きい $x$ に対して $f(x) > 0$ となるので、正の解は2つあります。

3. 最終的な答え

2個