3次方程式 $x^3 - 3x^2 - 9x + a = 0$ が異なる2つの実数解を持つような $a$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 3x^2 - 9x + a = 0$ が異なる2つの実数解を持つような $a$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた3次方程式を $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + a$ とおきます。

$f(x) = 0$ が異なる2つの実数解を持つためには、$f(x)$ が極値を持ち、極大値または極小値のいずれかが0となる必要があります。

まず、$f(x)$ の導関数を求めます。

$f'(x) = 3x^2 - 6x - 9$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$3x^2 - 6x - 9 = 0$

$x^2 - 2x - 3 = 0$

$(x - 3)(x + 1) = 0$

$x = 3, -1$

$x = 3$ と $x = -1$ は $f(x)$ の極値を与える $x$ の値です。

次に、$f(x)$ の極値を計算します。

$f(3) = 3^3 - 3(3^2) - 9(3) + a = 27 - 27 - 27 + a = a - 27$

$f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) + a = -1 - 3 + 9 + a = a + 5$

$f(x) = 0$ が異なる2つの実数解を持つためには、極大値または極小値のいずれかが0となる必要があります。

つまり、$f(3) = 0$ または $f(-1) = 0$ のいずれかが成り立ちます。

(i) $f(3) = a - 27 = 0$ の場合、$a = 27$ となります。

このとき、$f(-1) = 27 + 5 = 32 \neq 0$ であるため、異なる2つの実数解を持ちます。

(ii) $f(-1) = a + 5 = 0$ の場合、$a = -5$ となります。

このとき、$f(3) = -5 - 27 = -32 \neq 0$ であるため、異なる2つの実数解を持ちます。

したがって、$a = 27$ または $a = -5$ が求める $a$ の値です。

3. 最終的な答え

$a = 27, -5$