関数 $y = f(x) = \frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}$ が与えられたとき、以下の2つのことを示す。 * $(1-x^2)\frac{dy}{dx} = xy+1$ * $n \geq 1$ に対して $(1-x^2)y^{(n+1)} - (2n+1)xy^{(n)} - n^2y^{(n-1)} = 0$ さらに、$f(x)$ のマクローリン級数を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = f(x) = \frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}$ が与えられたとき、以下の2つのことを示す。

* $(1-x^2)\frac{dy}{dx} = xy+1$

* $n \geq 1$ に対して $(1-x^2)y^{(n+1)} - (2n+1)xy^{(n)} - n^2y^{(n-1)} = 0$

さらに、$f(x)$ のマクローリン級数を求める。

2. 解き方の手順

まず、 $y = \frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}$ を微分して$\frac{dy}{dx}$を求めます。

次に、$(1-x^2)\frac{dy}{dx} = xy+1$ が成り立つことを示します。

次に、ライプニッツの公式を用いて、$(1-x^2)\frac{dy}{dx} = xy+1$ を $n$ 回微分し、

$(1-x^2)y^{(n+1)} - (2n+1)xy^{(n)} - n^2y^{(n-1)} = 0$ を導きます。

最後に、マクローリン展開の公式 $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$ を用いて、$f(x)$ のマクローリン級数を求めます。

**ステップ1: $\frac{dy}{dx}$ を求める**

$y = \frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}$ なので、商の微分公式を用いて計算する。

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\sqrt{1-x^2} - \arcsin x \cdot \frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2} = \frac{1 + \frac{x\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}}{1-x^2} = \frac{1}{\left(1-x^2\right)} + \frac{x}{\left(1-x^2\right)} \cdot \frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{1}{1-x^2} + \frac{xy}{1-x^2}$

**ステップ2: $(1-x^2)\frac{dy}{dx} = xy+1$ を示す**

上記の$\frac{dy}{dx}$ を用いると、

$(1-x^2)\frac{dy}{dx} = (1-x^2) \left( \frac{1}{1-x^2} + \frac{xy}{1-x^2} \right) = 1 + xy$

よって、$(1-x^2)\frac{dy}{dx} = xy+1$ が示された。

**ステップ3: $(1-x^2)y^{(n+1)} - (2n+1)xy^{(n)} - n^2y^{(n-1)} = 0$ を示す**

$(1-x^2)\frac{dy}{dx} = xy+1$ を $n$ 回微分する。ライプニッツの公式を用いる。

$(1-x^2)y' = xy + 1$

両辺を $n$ 回微分すると、

$\sum_{k=0}^{n} {}_n C_k (1-x^2)^{(k)} (y')^{(n-k)} = \sum_{k=0}^{n} {}_n C_k x^{(k)} y^{(n-k)} + 0$

$\sum_{k=0}^{n} {}_n C_k (1-x^2)^{(k)} y^{(n+1-k)} = \sum_{k=0}^{n} {}_n C_k x^{(k)} y^{(n-k)}$

$(1-x^2)y^{(n+1)} + n(-2x)y^{(n)} + \frac{n(n-1)}{2}(-2)y^{(n-1)} = xy^{(n)} + ny^{(n-1)}$

$(1-x^2)y^{(n+1)} - 2nxy^{(n)} - n(n-1)y^{(n-1)} = xy^{(n)} + ny^{(n-1)}$

$(1-x^2)y^{(n+1)} - (2n+1)xy^{(n)} - (n^2 - n + n)y^{(n-1)} = 0$

$(1-x^2)y^{(n+1)} - (2n+1)xy^{(n)} - n^2y^{(n-1)} = 0$

**ステップ4: $f(x)$ のマクローリン級数を求める**

$f(x) = \frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}$ なので、

$f(0) = \frac{\arcsin 0}{\sqrt{1-0^2}} = \frac{0}{1} = 0$

$(1-x^2)y' = xy + 1$ より、 $y'(0) = 1$

$(1-x^2)y^{(n+1)} - (2n+1)xy^{(n)} - n^2y^{(n-1)} = 0$ より、 $y^{(n+1)}(0) = n^2y^{(n-1)}(0)$

$y(0)=0$, $y'(0) = 1$, $y''(0)=0$, $y'''(0) = 1$, $y^{(4)}(0) = 0$, $y^{(5)}(0) = 9 = 3^2$

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{3^2x^5}{5!} + \dots = x + \frac{x^3}{6} + \frac{9x^5}{120} + \dots$

$f(x) = x + \frac{x^3}{6} + \frac{3x^5}{40} + \dots$

3. 最終的な答え

* $(1-x^2)\frac{dy}{dx} = xy+1$

* $(1-x^2)y^{(n+1)} - (2n+1)xy^{(n)} - n^2y^{(n-1)} = 0$

* $f(x) = x + \frac{x^3}{6} + \frac{3x^5}{40} + \dots$