次の定積分を計算します。 $\int_{1}^{4} \left( \sqrt[4]{x^3} + \frac{1}{\sqrt{2x}} + (3x)^2 \right) dx$

1. 問題の内容

次の定積分を計算します。

$\int_{1}^{4} \left( \sqrt[4]{x^3} + \frac{1}{\sqrt{2x}} + (3x)^2 \right) dx$

2. 解き方の手順

まず、積分を計算するために、積分関数を簡略化します。

$\sqrt[4]{x^3} = x^{\frac{3}{4}}$

$\frac{1}{\sqrt{2x}} = \frac{1}{\sqrt{2}\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{2}}x^{-\frac{1}{2}}$

$(3x)^2 = 9x^2$

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{1}^{4} \left( x^{\frac{3}{4}} + \frac{1}{\sqrt{2}}x^{-\frac{1}{2}} + 9x^2 \right) dx$

各項を個別に積分します。

$\int x^{\frac{3}{4}} dx = \frac{x^{\frac{7}{4}}}{\frac{7}{4}} = \frac{4}{7}x^{\frac{7}{4}}$

$\int \frac{1}{\sqrt{2}}x^{-\frac{1}{2}} dx = \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}x^{\frac{1}{2}}$

$\int 9x^2 dx = 9 \frac{x^3}{3} = 3x^3$

積分範囲は1から4なので、各項を1と4で評価し、引き算します。

$\frac{4}{7}(4^{\frac{7}{4}} - 1^{\frac{7}{4}}) = \frac{4}{7}(2^2)^{\frac{7}{4}} - \frac{4}{7} = \frac{4}{7}(2^{\frac{7}{2}}) - \frac{4}{7} = \frac{4}{7}(2^3\sqrt{2}) - \frac{4}{7} = \frac{32\sqrt{2}}{7} - \frac{4}{7}$

$\sqrt{2}(4^{\frac{1}{2}} - 1^{\frac{1}{2}}) = \sqrt{2}(2-1) = \sqrt{2}$

$3(4^3 - 1^3) = 3(64-1) = 3(63) = 189$

したがって、積分は次のようになります。

$\frac{32\sqrt{2}}{7} - \frac{4}{7} + \sqrt{2} + 189 = \frac{32\sqrt{2}}{7} + \frac{7\sqrt{2}}{7} - \frac{4}{7} + \frac{189 \cdot 7}{7} = \frac{39\sqrt{2}}{7} + \frac{-4 + 1323}{7} = \frac{39\sqrt{2}}{7} + \frac{1319}{7}$

3. 最終的な答え

$\frac{39\sqrt{2}+1319}{7}$