与えられた定積分の値を求めます。積分は以下の通りです。 $\int_{1}^{4} \sqrt{\frac{4}{x^3} + \frac{1}{2x} + (3x)^2} \, dx$

1. 問題の内容

与えられた定積分の値を求めます。積分は以下の通りです。

$\int_{1}^{4} \sqrt{\frac{4}{x^3} + \frac{1}{2x} + (3x)^2} \, dx$

2. 解き方の手順

まず、根号の中の式を整理します。

$\frac{4}{x^3} + \frac{1}{2x} + (3x)^2 = \frac{4}{x^3} + \frac{1}{2x} + 9x^2$

この式を平方の形に変形することを考えます。

$9x^2 + \frac{1}{2x} + \frac{4}{x^3} = (3x)^2 + 2(3x)\frac{1}{4x^2} + \frac{1}{(4x^2)^2} - \frac{2(3x)}{4x^2} - \frac{1}{16x^4} + \frac{1}{2x} + \frac{4}{x^3}$

平方完成の形にするのは難しいようです。

式をよく見ると、$\frac{2}{x\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{2x}} + 3x = \frac{2}{x^{3/2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} x^{-1/2} + 3x$を2乗すると、与えられた式に似た形になることが予想できます。

$\frac{2}{x^{3/2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} x^{-1/2} + 3x$を2乗してみます。

$(\frac{2}{x^{3/2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} x^{-1/2} + 3x)^2 = \frac{4}{x^3} + \frac{1}{2x} + 9x^2 + 2(\frac{2}{x^{3/2}})(\frac{1}{\sqrt{2}} x^{-1/2}) + 2(\frac{2}{x^{3/2}})(3x) + 2(\frac{1}{\sqrt{2}} x^{-1/2})(3x)$

$= \frac{4}{x^3} + \frac{1}{2x} + 9x^2 + \frac{4}{\sqrt{2} x^2} + \frac{12}{x^{1/2}} + \frac{6}{\sqrt{2}} x^{1/2}$

$\frac{4}{x^3} + \frac{1}{2x} + 9x^2$に一致するので、

$\int_{1}^{4} \sqrt{\frac{4}{x^3} + \frac{1}{2x} + 9x^2} dx = \int_1^4 (\frac{2}{x^{3/2}} + \frac{1}{\sqrt{2x}} + 3x) dx$

$\int_{1}^{4} (\frac{2}{x^{3/2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} x^{-1/2} + 3x) dx = [\frac{2 x^{-1/2}}{-1/2} + \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{x^{1/2}}{1/2} + \frac{3}{2} x^2]_1^4 = [-4 x^{-1/2} + \sqrt{2} x^{1/2} + \frac{3}{2} x^2]_1^4$

$= [-4(\frac{1}{2}) + \sqrt{2} (2) + \frac{3}{2} (16)] - [-4(1) + \sqrt{2} (1) + \frac{3}{2} (1)] = [-2 + 2\sqrt{2} + 24] - [-4 + \sqrt{2} + \frac{3}{2}] = 22 + 2\sqrt{2} + 4 - \sqrt{2} - \frac{3}{2} = 26 - \frac{3}{2} + \sqrt{2} = \frac{52-3}{2} + \sqrt{2} = \frac{49}{2} + \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{49}{2} + \sqrt{2}$