与えられた定積分を計算します。積分は以下の通りです。 $\int_{1}^{4} \left( \sqrt{\frac{4}{x^3}} + \frac{1}{\sqrt{2x}} + (3x)^2 \right) dx$

1. 問題の内容

与えられた定積分を計算します。積分は以下の通りです。

$\int_{1}^{4} \left( \sqrt{\frac{4}{x^3}} + \frac{1}{\sqrt{2x}} + (3x)^2 \right) dx$

2. 解き方の手順

まず、積分を各項に分けます。

$\int_{1}^{4} \sqrt{\frac{4}{x^3}} dx + \int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{2x}} dx + \int_{1}^{4} (3x)^2 dx$

各項を個別に計算します。

第1項: $\int_{1}^{4} \sqrt{\frac{4}{x^3}} dx = \int_{1}^{4} \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}} dx = 2 \int_{1}^{4} x^{-\frac{3}{2}} dx = 2 \left[ \frac{x^{-\frac{1}{2}}}{-\frac{1}{2}} \right]_{1}^{4} = -4 \left[ \frac{1}{\sqrt{x}} \right]_{1}^{4} = -4 \left( \frac{1}{2} - 1 \right) = -4 \left( -\frac{1}{2} \right) = 2$

第2項: $\int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{2x}} dx = \frac{1}{\sqrt{2}} \int_{1}^{4} x^{-\frac{1}{2}} dx = \frac{1}{\sqrt{2}} \left[ \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} \right]_{1}^{4} = \frac{2}{\sqrt{2}} \left[ \sqrt{x} \right]_{1}^{4} = \sqrt{2} \left[ \sqrt{x} \right]_{1}^{4} = \sqrt{2} (2 - 1) = \sqrt{2}$

第3項: $\int_{1}^{4} (3x)^2 dx = \int_{1}^{4} 9x^2 dx = 9 \int_{1}^{4} x^2 dx = 9 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{4} = 3 \left[ x^3 \right]_{1}^{4} = 3 (4^3 - 1^3) = 3 (64 - 1) = 3(63) = 189$

したがって、積分の合計は次のようになります。

$2 + \sqrt{2} + 189 = 191 + \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$191 + \sqrt{2}$