ロピタルの定理を用いて、極限 $\lim_{x \to 0} \frac{x(\cos x - 1)}{\sin x - x}$ を求める。

1. 問題の内容

ロピタルの定理を用いて、極限 $\lim_{x \to 0} \frac{x(\cos x - 1)}{\sin x - x}$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた極限の形を確認する。$x \to 0$ のとき、分子は $0(\cos 0 - 1) = 0(1-1) = 0$ に近づき、分母は $\sin 0 - 0 = 0 - 0 = 0$ に近づく。したがって、$\frac{0}{0}$ の不定形であるため、ロピタルの定理を適用できる。

ロピタルの定理を適用するには、分子と分母をそれぞれ微分する。

分子: $f(x) = x(\cos x - 1) = x \cos x - x$

$f'(x) = \cos x - x \sin x - 1$

分母: $g(x) = \sin x - x$

$g'(x) = \cos x - 1$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{x(\cos x - 1)}{\sin x - x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - x \sin x - 1}{\cos x - 1}$

$x \to 0$ のとき、分子は $\cos 0 - 0 \sin 0 - 1 = 1 - 0 - 1 = 0$ に近づき、分母は $\cos 0 - 1 = 1 - 1 = 0$ に近づく。したがって、再び $\frac{0}{0}$ の不定形であるため、もう一度ロピタルの定理を適用できる。

$f''(x) = -\sin x - (\sin x + x \cos x) = -2 \sin x - x \cos x$

$g''(x) = -\sin x$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - x \sin x - 1}{\cos x - 1} = \lim_{x \to 0} \frac{-2 \sin x - x \cos x}{-\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin x + x \cos x}{\sin x}$

これは、$\lim_{x \to 0} (2 + \frac{x}{\sin x} \cos x)$ と書き直すことができる。$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ であることから、$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1$ である。したがって、

$\lim_{x \to 0} (2 + \frac{x}{\sin x} \cos x) = 2 + (1)(\cos 0) = 2 + 1 = 3$

3. 最終的な答え

3