定積分 $\int_{-2}^{-1} (x-1)(x+1) \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-2}^{-1} (x-1)(x+1) \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分の中の式を展開します。

$(x-1)(x+1) = x^2 - 1$

次に、不定積分を求めます。

$\int (x^2 - 1) \, dx = \frac{x^3}{3} - x + C$

ここで、$C$は積分定数です。

定積分を計算するには、上記の不定積分に積分区間の上限と下限を代入し、その差を計算します。

$\int_{-2}^{-1} (x^2 - 1) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - x \right]_{-2}^{-1}$

$= \left( \frac{(-1)^3}{3} - (-1) \right) - \left( \frac{(-2)^3}{3} - (-2) \right)$

$= \left( -\frac{1}{3} + 1 \right) - \left( -\frac{8}{3} + 2 \right)$

$= \frac{2}{3} - \left( -\frac{2}{3} \right)$

$= \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{4}{3}$