定積分 $\int_{-2}^{-1} (x-1)\left(\frac{1}{x^3+1}\right) dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-2}^{-1} (x-1)\left(\frac{1}{x^3+1}\right) dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を整理します。$x^3 + 1$ を因数分解すると $(x+1)(x^2-x+1)$ となるので、

$$\frac{x-1}{x^3+1} = \frac{x-1}{(x+1)(x^2-x+1)}$$

となります。部分分数分解を試みます。

$$\frac{x-1}{(x+1)(x^2-x+1)} = \frac{A}{x+1} + \frac{Bx+C}{x^2-x+1}$$

両辺に $(x+1)(x^2-x+1)$ を掛けると

$$x-1 = A(x^2-x+1) + (Bx+C)(x+1)$$

$$x-1 = Ax^2 - Ax + A + Bx^2 + Bx + Cx + C$$

$$x-1 = (A+B)x^2 + (-A+B+C)x + (A+C)$$

係数を比較すると

$$A+B = 0$$

$$-A+B+C = 1$$

$$A+C = -1$$

これらの連立方程式を解きます。 $B = -A$ を2番目の式に代入すると $-A-A+C = 1$ となり、$-2A+C=1$です。

$A+C=-1$ と合わせて解くと、

$-2A+C = 1$

$A+C = -1$

上の式から下の式を引くと $-3A = 2$ なので $A = -\frac{2}{3}$ です。

$C = -1-A = -1 - (-\frac{2}{3}) = -1 + \frac{2}{3} = -\frac{1}{3}$ です。

$B = -A = \frac{2}{3}$ です。

よって、

$$\frac{x-1}{x^3+1} = -\frac{2}{3(x+1)} + \frac{\frac{2}{3}x - \frac{1}{3}}{x^2-x+1} = -\frac{2}{3(x+1)} + \frac{2x-1}{3(x^2-x+1)}$$

したがって、

$$\int_{-2}^{-1} \frac{x-1}{x^3+1} dx = \int_{-2}^{-1} \left( -\frac{2}{3(x+1)} + \frac{2x-1}{3(x^2-x+1)} \right) dx$$

$$= \left[ -\frac{2}{3}\ln|x+1| + \frac{1}{3}\ln|x^2-x+1| \right]_{-2}^{-1}$$

$$= \left[ \frac{1}{3}\ln\left|\frac{x^2-x+1}{(x+1)^2}\right| \right]_{-2}^{-1}$$

$x=-1$ を代入すると $\frac{x^2-x+1}{(x+1)^2} = \frac{1+1+1}{(-1+1)^2} = \frac{3}{0}$ となるので、直接代入できません。

しかし積分範囲は $-2$ から $-1$ なので、積分できません。

$x^3+1=0$ となる$x$は、$x=-1$であるため、積分区間に$x=-1$が含まれており、これは広義積分となります。

$\lim_{\epsilon \to 0} \int_{-2}^{-1-\epsilon} (x-1)/(x^3+1) dx$を考える必要があります。

積分は発散します。

3. 最終的な答え

発散する