定積分 $\int_{-2}^{-1} (x-1)\frac{1}{x^3+1} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-2}^{-1} (x-1)\frac{1}{x^3+1} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分の中身を整理します。$x^3 + 1 = (x+1)(x^2-x+1)$ と因数分解できることを利用します。

\begin{align*}

\int_{-2}^{-1} (x-1)\frac{1}{x^3+1} dx &= \int_{-2}^{-1} \frac{x-1}{(x+1)(x^2-x+1)} dx

\end{align*}

ここで、部分分数分解を試みます。

$$\frac{x-1}{(x+1)(x^2-x+1)} = \frac{A}{x+1} + \frac{Bx+C}{x^2-x+1}$$

両辺に $(x+1)(x^2-x+1)$ をかけると、

$$x-1 = A(x^2-x+1) + (Bx+C)(x+1)$$

$$x-1 = Ax^2 - Ax + A + Bx^2 + Bx + Cx + C$$

$$x-1 = (A+B)x^2 + (-A+B+C)x + (A+C)$$

係数を比較すると、

\begin{align*}

A+B &= 0 \\

-A+B+C &= 1 \\

A+C &= -1

\end{align*}

これらの連立方程式を解きます。$A+B=0$ より $B=-A$、$A+C=-1$ より $C = -1-A$。これらを $-A+B+C = 1$ に代入すると、

$-A -A -1 -A = 1$

$-3A - 1 = 1$

$-3A = 2$

$A = -\frac{2}{3}$

したがって、$B = \frac{2}{3}$、$C = -1 - (-\frac{2}{3}) = -1 + \frac{2}{3} = -\frac{1}{3}$。よって、

$$\frac{x-1}{(x+1)(x^2-x+1)} = \frac{-\frac{2}{3}}{x+1} + \frac{\frac{2}{3}x - \frac{1}{3}}{x^2-x+1} = -\frac{2}{3} \frac{1}{x+1} + \frac{1}{3} \frac{2x-1}{x^2-x+1}$$

したがって、

\begin{align*}

\int_{-2}^{-1} (x-1)\frac{1}{x^3+1} dx &= \int_{-2}^{-1} \left(-\frac{2}{3} \frac{1}{x+1} + \frac{1}{3} \frac{2x-1}{x^2-x+1}\right) dx \\

&= -\frac{2}{3} \int_{-2}^{-1} \frac{1}{x+1} dx + \frac{1}{3} \int_{-2}^{-1} \frac{2x-1}{x^2-x+1} dx \\

&= -\frac{2}{3} [\ln|x+1|]_{-2}^{-1} + \frac{1}{3} [\ln|x^2-x+1|]_{-2}^{-1} \\

&= -\frac{2}{3} (\ln|-1+1| - \ln|-2+1|) + \frac{1}{3} (\ln|(-1)^2-(-1)+1| - \ln|(-2)^2-(-2)+1|) \\

&= -\frac{2}{3} (\ln 0 - \ln 1) + \frac{1}{3} (\ln 3 - \ln 7) \\

\end{align*}

$\ln 0$ は定義されないため、積分は広義積分として考える必要があります。しかし、$x=-1$ で被積分関数は発散するため、この広義積分は収束しません。

しかし、もし問題が正しく設定されていると仮定すると、$x=-1$ での発散を無視して計算を進めることになります。$\ln(0)$ を $-\infty$ と考えると、これは $-\frac{2}{3}(-\infty - 0) + \frac{1}{3}(\ln 3 - \ln 7) = \infty$ となり、積分は発散します。

ただし、問題がタイプミスである可能性を考慮して、被積分関数が $\frac{x-1}{x^2-x+1}$である場合を考えます。この場合、

\begin{align*}

\int_{-2}^{-1} \frac{x-1}{x^2-x+1} dx &= \frac{1}{2} \int_{-2}^{-1} \frac{2x-2}{x^2-x+1} dx \\

&= \frac{1}{2} \int_{-2}^{-1} \frac{2x-1-1}{x^2-x+1} dx \\

&= \frac{1}{2} \int_{-2}^{-1} \frac{2x-1}{x^2-x+1} dx - \frac{1}{2} \int_{-2}^{-1} \frac{1}{x^2-x+1} dx \\

&= \frac{1}{2} [\ln |x^2-x+1|]_{-2}^{-1} - \frac{1}{2} \int_{-2}^{-1} \frac{1}{(x-\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}} dx \\

&= \frac{1}{2} (\ln 3 - \ln 7) - \frac{1}{2} \left[ \frac{2}{\sqrt{3}} \arctan \left( \frac{x-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \right) \right]_{-2}^{-1} \\

&= \frac{1}{2} \ln \frac{3}{7} - \frac{1}{\sqrt{3}} \left[ \arctan \left( \frac{2x-1}{\sqrt{3}} \right) \right]_{-2}^{-1} \\

&= \frac{1}{2} \ln \frac{3}{7} - \frac{1}{\sqrt{3}} \left( \arctan (-\sqrt{3}) - \arctan (-\frac{5}{\sqrt{3}}) \right) \\

&= \frac{1}{2} \ln \frac{3}{7} - \frac{1}{\sqrt{3}} \left( -\frac{\pi}{3} - \arctan (-\frac{5}{\sqrt{3}}) \right) \\

&= \frac{1}{2} \ln \frac{3}{7} + \frac{\pi}{3\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan (-\frac{5}{\sqrt{3}})

\end{align*}

問題文の通りに進めると、積分は発散してしまいます。

3. 最終的な答え

積分は発散する。