問題は、以下の2つの極限が与えられた値に等しくなるように、定数 $a$ と $b$ の値を決定することです。 (1) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + ax + b}{x-1} = 3$ (2) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 4x + ax + b}) = 5$

1. 問題の内容

問題は、以下の2つの極限が与えられた値に等しくなるように、定数 $a$ と $b$ の値を決定することです。

(1) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + ax + b}{x-1} = 3$

(2) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 4x + ax + b}) = 5$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + ax + b}{x-1} = 3$ について:

$x \to 1$ のとき、分母 $x - 1$ は $0$ に近づきます。極限が有限の値 $3$ になるためには、分子 $x^2 + ax + b$ も $x \to 1$ のとき $0$ に近づく必要があります。つまり、 $x = 1$ を代入すると $0$ になる必要があります。

$1^2 + a(1) + b = 0$

$1 + a + b = 0$

$b = -a - 1$

これを元の式に代入します。

$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + ax - a - 1}{x - 1} = 3$

$\lim_{x \to 1} \frac{(x^2 - 1) + a(x - 1)}{x - 1} = 3$

$\lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 1) + a(x - 1)}{x - 1} = 3$

$\lim_{x \to 1} (x + 1 + a) = 3$

$1 + 1 + a = 3$

$2 + a = 3$

$a = 1$

$b = -a - 1 = -1 - 1 = -2$

(2) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 4x + ax + b}) = 5$ について:

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + (4+a)x + b}) = 5$

根号の中身を平方完成します。

$\sqrt{x^2 + (4+a)x + b} = \sqrt{(x + \frac{4+a}{2})^2 - (\frac{4+a}{2})^2 + b}$

$x \to \infty$ であれば$\sqrt{x^2+(4+a)x+b} \approx x + \frac{4+a}{2}$となるはずです。

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + (4+a)x + b} - x) = 5$

$\lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^2 + (4+a)x + b} - x)(\sqrt{x^2 + (4+a)x + b} + x)}{\sqrt{x^2 + (4+a)x + b} + x} = 5$

$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + (4+a)x + b - x^2}{\sqrt{x^2 + (4+a)x + b} + x} = 5$

$\lim_{x \to \infty} \frac{(4+a)x + b}{\sqrt{x^2 + (4+a)x + b} + x} = 5$

$\lim_{x \to \infty} \frac{(4+a) + \frac{b}{x}}{\sqrt{1 + \frac{4+a}{x} + \frac{b}{x^2}} + 1} = 5$

$\frac{4+a}{1+1} = 5$

$\frac{4+a}{2} = 5$

$4+a = 10$

$a = 6$

したがって、$a = 6$

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 10x + b}) = 5$

これは問題設定がおかしいと思われます．

上記議論から、$a$ のみが定まり，$b$ は決定できません．

しかし，問題文から，$b$ が存在するという前提であるため，問題がおかしいか，あるいは何らかのミスがあると思われます．

例えば，$b=25$であれば，以下のように考えられます．

$\sqrt{x^2 + 10x + 25} = \sqrt{(x+5)^2}=|x+5|$

$\lim_{x \to \infty}|x+5| = \infty \ne 5$

$b$ は決定できません．

しかし、$b$ を決定できないとすると、$a$ と $b$ の値を定めよという問題文と矛盾します。

何か条件が不足しているか、問題の設定自体に誤りがある可能性があります。

3. 最終的な答え

(1) $a = 1$, $b = -2$

(2) $a = 6$, $b$は定まらない。

問題文の設定に矛盾がある可能性があります．

ここでは、$b$は定まらないという結論とします．