与えられた2つの極限の式が成り立つように、定数 $a$ と $b$ の値を定める問題です。 (1) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2+ax+b}{x-1} = 3$ (2) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+4x+ax+b} - x) = 5$

1. 問題の内容

与えられた2つの極限の式が成り立つように、定数 $a$ と $b$ の値を定める問題です。

(1) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2+ax+b}{x-1} = 3$

(2) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+4x+ax+b} - x) = 5$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2+ax+b}{x-1} = 3$

$x \to 1$ のとき、分母 $x-1$ が0に近づくので、極限が存在するためには分子 $x^2+ax+b$ も0に近づく必要があります。

したがって、$1^2 + a(1) + b = 0$ より、$1 + a + b = 0$ が成り立ちます。

これより、$b = -a - 1$ が得られます。

これを元の式に代入すると、

$\lim_{x \to 1} \frac{x^2+ax-a-1}{x-1} = \lim_{x \to 1} \frac{x^2-1+a(x-1)}{x-1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1)+a(x-1)}{x-1} = \lim_{x \to 1} (x+1+a) = 1+1+a = 2+a = 3$

したがって、$a = 1$

$b = -a - 1 = -1 - 1 = -2$

(2) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+4x+ax+b} - x) = 5$

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+(4+a)x+b} - x) = 5$

$\lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^2+(4+a)x+b} - x)(\sqrt{x^2+(4+a)x+b} + x)}{\sqrt{x^2+(4+a)x+b} + x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2+(4+a)x+b - x^2}{\sqrt{x^2+(4+a)x+b} + x} = \lim_{x \to \infty} \frac{(4+a)x+b}{\sqrt{x^2+(4+a)x+b} + x}$

$\lim_{x \to \infty} \frac{(4+a)x+b}{\sqrt{x^2+(4+a)x+b} + x} = \lim_{x \to \infty} \frac{(4+a)+\frac{b}{x}}{\sqrt{1+\frac{4+a}{x}+\frac{b}{x^2}} + 1} = \frac{4+a}{1+1} = \frac{4+a}{2} = 5$

$4+a = 10$

$a = 6$

$b$ は極限に影響を与えないので、任意の数となり、ここでは $b$ が存在すると仮定するだけなので、特に条件は得られない。

そのため、$b$ は任意の値をとることができる。

(1) の答えは $a=1$, $b=-2$

(2) の答えは $a=6$, $b$ は任意の実数

3. 最終的な答え

(1) $a = 1$, $b = -2$

(2) $a = 6$, $b$は任意の実数