行列 $A = \begin{bmatrix} t+1 & 1 \\ 1 & t+1 \end{bmatrix}$ (ただし、$t$は実数) とするとき、連立一次方程式 $Ax = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ が解をもつための条件と、そのときの解 $x$ を求めよ。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{bmatrix} t+1 & 1 \\ 1 & t+1 \end{bmatrix}$ (ただし、$t$は実数) とするとき、連立一次方程式 $Ax = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ が解をもつための条件と、そのときの解 $x$ を求めよ。

2. 解き方の手順

連立一次方程式 $Ax = b$ が解をもつための必要十分条件は、拡大行列 $[A|b]$ のランクと係数行列 $A$ のランクが等しいことです。

まず、行列 $A$ の行列式を計算します。

$det(A) = (t+1)^2 - 1 = t^2 + 2t + 1 - 1 = t^2 + 2t = t(t+2)$

もし $det(A) \neq 0$ 、つまり $t \neq 0$ かつ $t \neq -2$ ならば、$A$ は正則行列なので、$Ax = b$ は一意解を持ちます。その解は、$x = A^{-1}b$ です。

$A^{-1} = \frac{1}{t(t+2)}\begin{bmatrix} t+1 & -1 \\ -1 & t+1 \end{bmatrix}$

よって、

$x = \frac{1}{t(t+2)}\begin{bmatrix} t+1 & -1 \\ -1 & t+1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{t(t+2)}\begin{bmatrix} t \\ t \end{bmatrix} = \frac{1}{t+2}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

次に、$t = 0$ の場合を考えます。

$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$

$Ax = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

このとき、$x_1 + x_2 = 1$ です。よって、$x_2 = 1 - x_1$ であり、解は $x = \begin{bmatrix} x_1 \\ 1 - x_1 \end{bmatrix}$ （$x_1$ は任意の実数）。

最後に、$t = -2$ の場合を考えます。

$A = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$

$Ax = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

このとき、$-x_1 + x_2 = 1$ かつ $x_1 - x_2 = 1$ ですが、この2つの式を足し合わせると $0 = 2$ となり矛盾するので、解は存在しません。

まとめると、$Ax = b$ が解を持つための条件は、$t \neq -2$ です。

3. 最終的な答え

$Ax = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ が解をもつための条件は、$t \neq -2$ 。

$t \neq 0$ かつ $t \neq -2$ のとき、$x = \frac{1}{t+2}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

$t = 0$ のとき、$x = \begin{bmatrix} x_1 \\ 1 - x_1 \end{bmatrix}$ ( $x_1$ は任意の実数)