与えられた行列 A と B の固有値と固有ベクトルを求めます。 行列 A は $A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & -3 \\ 2 & 2 & -6 \\ 2 & 2 & -6 \end{pmatrix}$ であり、行列 B は $B = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 5 \end{pmatrix}$ です。

1. 問題の内容

与えられた行列 A と B の固有値と固有ベクトルを求めます。

行列 A は

$A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & -3 \\ 2 & 2 & -6 \\ 2 & 2 & -6 \end{pmatrix}$

であり、行列 B は

$B = \begin{pmatrix} 1 & 3 & -1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 5 \end{pmatrix}$

です。

2. 解き方の手順

(1) 行列 A の固有値と固有ベクトルを求めます。

まず、固有方程式 $|A - \lambda I| = 0$ を解きます。

ここで、$I$ は単位行列、$\lambda$ は固有値です。

$A - \lambda I = \begin{pmatrix} -1-\lambda & 2 & -3 \\ 2 & 2-\lambda & -6 \\ 2 & 2-\lambda & -6 \end{pmatrix}$

$|A - \lambda I| = (-1-\lambda)((2-\lambda)^2 - 36) - 2(2(2-\lambda) + 12) - 3(2(2-\lambda)+12)$

$= (-1-\lambda)(\lambda^2 - 4\lambda - 32) - 4(2-\lambda) - 24 - 6(2-\lambda) - 36$

$= (-1-\lambda)(\lambda - 8)(\lambda + 4) - 8 + 4\lambda - 24 - 12 + 6\lambda - 36$

$= -\lambda^3 + 4\lambda^2 + 32\lambda - \lambda^2 + 4\lambda + 32 - 60 + 10\lambda - 36$

$= -\lambda^3 + 3\lambda^2 + 46\lambda - 64 = 0$

$= -(\lambda-8)(\lambda+4)\lambda$

したがって、固有値は $\lambda_1 = 0, \lambda_2 = 8, \lambda_3 = -4$ となります。

次に、各固有値に対する固有ベクトルを求めます。

(i) $\lambda_1 = 0$ のとき:

$(A - 0I)v = 0$

$\begin{pmatrix} -1 & 2 & -3 \\ 2 & 2 & -6 \\ 2 & 2 & -6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-x + 2y - 3z = 0$

$2x + 2y - 6z = 0$

$x + y - 3z = 0$

$3y - 6z = 0$

$y = 2z$

$x = -2y + 3z = -4z + 3z = -z$

$v_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$

(ii) $\lambda_2 = 8$ のとき:

$(A - 8I)v = 0$

$\begin{pmatrix} -9 & 2 & -3 \\ 2 & -6 & -6 \\ 2 & 2 & -14 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-9x + 2y - 3z = 0$

$2x - 6y - 6z = 0$

$x - 3y - 3z = 0$

$2x + 2y - 14z = 0$

$x + y - 7z = 0$

$4y+4z=0$

$y = -z$

$x = 3y+3z = 0$

$v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$

(iii) $\lambda_3 = -4$ のとき:

$(A + 4I)v = 0$

$\begin{pmatrix} 3 & 2 & -3 \\ 2 & 6 & -6 \\ 2 & 2 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$3x + 2y - 3z = 0$

$2x + 6y - 6z = 0$

$x + 3y - 3z = 0$

$2x + 2y - 2z = 0$

$x + y - z = 0$

$2y = 0$, $y = 0$

$x = z$

$v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

(2) 行列 B の固有値と固有ベクトルを求めます。

まず、固有方程式 $|B - \lambda I| = 0$ を解きます。

$B - \lambda I = \begin{pmatrix} 1-\lambda & 3 & -1 \\ 0 & 1-\lambda & 3 \\ 0 & -1 & 5-\lambda \end{pmatrix}$

$|B - \lambda I| = (1-\lambda)((1-\lambda)(5-\lambda) + 3)$

$= (1-\lambda)(5 - 6\lambda + \lambda^2 + 3)$

$= (1-\lambda)(\lambda^2 - 6\lambda + 8) = (1-\lambda)(\lambda-2)(\lambda-4)$

したがって、固有値は $\lambda_1 = 1, \lambda_2 = 2, \lambda_3 = 4$ となります。

次に、各固有値に対する固有ベクトルを求めます。

(i) $\lambda_1 = 1$ のとき:

$(B - I)v = 0$

$\begin{pmatrix} 0 & 3 & -1 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & -1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$3y - z = 0$

$3z = 0$

$-y + 4z = 0$

$z = 0, y = 0$

$v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

(ii) $\lambda_2 = 2$ のとき:

$(B - 2I)v = 0$

$\begin{pmatrix} -1 & 3 & -1 \\ 0 & -1 & 3 \\ 0 & -1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-x + 3y - z = 0$

$-y + 3z = 0$

$y = 3z$

$x = 3y - z = 9z - z = 8z$

$v_2 = \begin{pmatrix} 8 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$

(iii) $\lambda_3 = 4$ のとき:

$(B - 4I)v = 0$

$\begin{pmatrix} -3 & 3 & -1 \\ 0 & -3 & 3 \\ 0 & -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-3x + 3y - z = 0$

$-3y + 3z = 0$

$-y + z = 0$

$y = z$

$-3x + 3y - y = 0$

$3x = 2y$, $x = (2/3)y$

$v_3 = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) 行列 A の固有値と固有ベクトルは以下の通りです。

固有値: $\lambda_1 = 0$, 固有ベクトル: $v_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}$

固有値: $\lambda_2 = 8$, 固有ベクトル: $v_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$

固有値: $\lambda_3 = -4$, 固有ベクトル: $v_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

(2) 行列 B の固有値と固有ベクトルは以下の通りです。

固有値: $\lambda_1 = 1$, 固有ベクトル: $v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

固有値: $\lambda_2 = 2$, 固有ベクトル: $v_2 = \begin{pmatrix} 8 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$

固有値: $\lambda_3 = 4$, 固有ベクトル: $v_3 = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}$