問題17は、2次関数のグラフの平行移動に関する問題です。 (1) 頂点の座標が $(3, 5)$ である2次関数のグラフを $x$ 軸方向に $4$, $y$ 軸方向に $-3$ だけ平行移動したグラフの頂点の座標を求めます。 (2) 2次関数 $y = x^2 - 2x - 1$ のグラフを $x$ 軸方向に $3$, $y$ 軸方向に $-7$ だけ平行移動したグラフを表す2次関数を求めます。 問題18は、2次関数の最大値・最小値を求める問題です。 2次関数 $y = 2x^2 + 2x + 1$ の $0 \le x \le 2$ における最大値と最小値を求めます。

1. 問題の内容

問題17は、2次関数のグラフの平行移動に関する問題です。

(1) 頂点の座標が $(3, 5)$ である2次関数のグラフを $x$ 軸方向に $4$, $y$ 軸方向に $-3$ だけ平行移動したグラフの頂点の座標を求めます。

(2) 2次関数 $y = x^2 - 2x - 1$ のグラフを $x$ 軸方向に $3$, $y$ 軸方向に $-7$ だけ平行移動したグラフを表す2次関数を求めます。

問題18は、2次関数の最大値・最小値を求める問題です。

2次関数 $y = 2x^2 + 2x + 1$ の $0 \le x \le 2$ における最大値と最小値を求めます。

2. 解き方の手順

問題17

(1) 平行移動後の頂点の座標は、$x$ 座標に $4$ を足し、$y$ 座標に $-3$ を足せば良いので、$(3+4, 5+(-3)) = (7, 2)$ となります。

(2) $y = x^2 - 2x - 1$ を $x$ 軸方向に $3$, $y$ 軸方向に $-7$ だけ平行移動すると、

$y + 7 = (x-3)^2 - 2(x-3) - 1$

$y = (x^2 - 6x + 9) - (2x - 6) - 1 - 7$

$y = x^2 - 8x + 7$

問題18

$y = 2x^2 + 2x + 1$ を平方完成します。

$y = 2(x^2 + x) + 1$

$y = 2(x^2 + x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) + 1$

$y = 2(x + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} + 1$

$y = 2(x + \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2}$

頂点の座標は $(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ です。

$0 \le x \le 2$ の範囲で考えます。

$x = 0$ のとき $y = 1$

$x = 2$ のとき $y = 2(2 + \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2} = 2(\frac{5}{2})^2 + \frac{1}{2} = 2 \cdot \frac{25}{4} + \frac{1}{2} = \frac{25}{2} + \frac{1}{2} = \frac{26}{2} = 13$

$x = -\frac{1}{2}$ は $0 \le x \le 2$ の範囲に含まれないため、$y = \frac{1}{2}$ は最小値ではありません。

最小値は $x = 0$ のときの $y = 1$ であり、最大値は $x = 2$ のときの $y = 13$ です。

3. 最終的な答え

問題17

(1) 頂点の座標は $(7, 2)$

(2) 2次関数は $y = x^2 - 8x + 7$

問題18

最大値は $13$, 最小値は $1$