問題11.4(1) は、$f(0) = 4$, $f'(0) = 3$, $f''(0) = 2$, $f^{(n)}(0) = 0$ ($n \geq 3$) であるとき、多項式 $f(x)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

問題11.4(1) は、$f(0) = 4$, $f'(0) = 3$, $f''(0) = 2$, $f^{(n)}(0) = 0$ ($n \geq 3$) であるとき、多項式 $f(x)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

$f(x)$ は多項式であることと、$f^{(n)}(0)$ が $n \geq 3$ で $0$ であることから、$f(x)$ は2次以下の多項式であると推測できます。そこで、$f(x) = ax^2 + bx + c$ とおきます。

$f(0) = 4$ より、$a(0)^2 + b(0) + c = 4$。 よって、$c = 4$。

$f(x) = ax^2 + bx + 4$。

$f'(x) = 2ax + b$。

$f'(0) = 3$ より、$2a(0) + b = 3$。 よって、$b = 3$。

$f(x) = ax^2 + 3x + 4$。

$f''(x) = 2a$。

$f''(0) = 2$ より、$2a = 2$。 よって、$a = 1$。

したがって、$f(x) = x^2 + 3x + 4$。

$f^{(n)}(x) = 0$ for $n \geq 3$ を確認します。

$f'''(x) = 0$ であることは自明です。

3. 最終的な答え

$f(x) = x^2 + 3x + 4$