行列 $A = \begin{bmatrix} t+1 & 1 \\ 1 & t+1 \end{bmatrix}$ (ただし $t$ は実数) に対して、連立一次方程式 $Ax = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ が解を持つための条件と、そのときの解 $x$ を求めよ。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{bmatrix} t+1 & 1 \\ 1 & t+1 \end{bmatrix}$ (ただし $t$ は実数) に対して、連立一次方程式 $Ax = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ が解を持つための条件と、そのときの解 $x$ を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた連立一次方程式 $Ax = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ を解く。ここで $A = \begin{bmatrix} t+1 & 1 \\ 1 & t+1 \end{bmatrix}$ であり、$x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$ とおく。

このとき、連立一次方程式は

$$$$

\begin{cases}

(t+1)x_1 + x_2 = 1 \\

x_1 + (t+1)x_2 = 1

\end{cases}

$$$$

と表せる。

第1式から第2式を引くと、

$$$$

(t+1)x_1 + x_2 - (x_1 + (t+1)x_2) = 1 - 1 \\

tx_1 - tx_2 = 0 \\

t(x_1 - x_2) = 0

$$$$

となる。

したがって、$t = 0$ または $x_1 = x_2$ が成り立つ。

(i) $t \neq 0$ のとき、$x_1 = x_2$ なので、第1式に代入すると

$$$$

(t+1)x_1 + x_1 = 1 \\

(t+2)x_1 = 1 \\

x_1 = \frac{1}{t+2}

$$$$

したがって、$x_1 = x_2 = \frac{1}{t+2}$ となる。このとき、$t \neq -2$ でなければならない。

(ii) $t = 0$ のとき、与えられた連立一次方程式は

$$$$

\begin{cases}

x_1 + x_2 = 1 \\

x_1 + x_2 = 1

\end{cases}

$$$$

となり、$x_2 = 1 - x_1$ である。

まとめると、$A$ の行列式は

$$$$

\det(A) = (t+1)^2 - 1 = t^2 + 2t = t(t+2)

$$$$

なので、$\det(A) \neq 0$ つまり $t \neq 0$ かつ $t \neq -2$ のとき、一意解を持つ。

$t=0$のとき、$x_1+x_2=1$を満たす任意の$x_1, x_2$が解。

$t=-2$のとき、

$$$$

A = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}

$$$$

なので、

$$$$

\begin{cases}

-x_1 + x_2 = 1 \\

x_1 - x_2 = 1

\end{cases}

$$$$

となり、これは解を持たない。

3. 最終的な答え

$t \neq -2$ のとき、解を持つ。

$t \neq 0$ かつ $t \neq -2$ のとき、$x = \begin{bmatrix} \frac{1}{t+2} \\ \frac{1}{t+2} \end{bmatrix}$

$t = 0$ のとき、$x = \begin{bmatrix} x_1 \\ 1 - x_1 \end{bmatrix}$ (ただし、$x_1$ は任意の実数)

$t = -2$ のとき、解なし。