与えられた3つの定積分を計算する問題です。 (1) $\int_1^8 \frac{x}{\sqrt[3]{x}} dx$ (2) $\int_1^2 \frac{1}{x^2 \sqrt[5]{x}} dx$ (3) $\int_2^3 (x-4)^6 dx$

1. 問題の内容

与えられた3つの定積分を計算する問題です。

(1) $\int_1^8 \frac{x}{\sqrt[3]{x}} dx$

(2) $\int_1^2 \frac{1}{x^2 \sqrt[5]{x}} dx$

(3) $\int_2^3 (x-4)^6 dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_1^8 \frac{x}{\sqrt[3]{x}} dx$

まず、被積分関数を簡略化します。$\frac{x}{\sqrt[3]{x}} = \frac{x}{x^{1/3}} = x^{1 - 1/3} = x^{2/3}$

したがって、積分は $\int_1^8 x^{2/3} dx$ となります。

$x^{2/3}$ の不定積分は $\frac{x^{(2/3)+1}}{(2/3)+1} = \frac{x^{5/3}}{5/3} = \frac{3}{5}x^{5/3}$ です。

定積分は $\frac{3}{5}[x^{5/3}]_1^8 = \frac{3}{5}(8^{5/3} - 1^{5/3}) = \frac{3}{5}((8^{1/3})^5 - 1) = \frac{3}{5}(2^5 - 1) = \frac{3}{5}(32 - 1) = \frac{3}{5}(31) = \frac{93}{5}$ となります。

(2) $\int_1^2 \frac{1}{x^2 \sqrt[5]{x}} dx$

まず、被積分関数を簡略化します。$\frac{1}{x^2 \sqrt[5]{x}} = \frac{1}{x^2 x^{1/5}} = \frac{1}{x^{2 + 1/5}} = \frac{1}{x^{11/5}} = x^{-11/5}$

したがって、積分は $\int_1^2 x^{-11/5} dx$ となります。

$x^{-11/5}$ の不定積分は $\frac{x^{(-11/5)+1}}{(-11/5)+1} = \frac{x^{-6/5}}{-6/5} = -\frac{5}{6}x^{-6/5}$ です。

定積分は $-\frac{5}{6}[x^{-6/5}]_1^2 = -\frac{5}{6}(2^{-6/5} - 1^{-6/5}) = -\frac{5}{6}(2^{-6/5} - 1) = \frac{5}{6}(1 - 2^{-6/5})$ となります。

(3) $\int_2^3 (x-4)^6 dx$

$u = x-4$ と置換します。すると $du = dx$ であり、$x = 2$ のとき $u = 2-4 = -2$、$x = 3$ のとき $u = 3-4 = -1$ です。

したがって、積分は $\int_{-2}^{-1} u^6 du$ となります。

$u^6$ の不定積分は $\frac{u^7}{7}$ です。

定積分は $\frac{1}{7}[u^7]_{-2}^{-1} = \frac{1}{7}((-1)^7 - (-2)^7) = \frac{1}{7}(-1 - (-128)) = \frac{1}{7}(-1 + 128) = \frac{127}{7}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{93}{5}$

(2) $\frac{5}{6}(1 - 2^{-6/5})$

(3) $\frac{127}{7}$