行列 $A = \begin{bmatrix} t+1 & 1 \\ 1 & t+1 \end{bmatrix}$ (ただし、$t$ は実数) が与えられています。連立一次方程式 $Ax = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ が解を持つための $t$ の条件と、そのときの解 $x$ を求める問題です。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{bmatrix} t+1 & 1 \\ 1 & t+1 \end{bmatrix}$ (ただし、$t$ は実数) が与えられています。連立一次方程式 $Ax = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ が解を持つための $t$ の条件と、そのときの解 $x$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、拡大係数行列を作り、行基本変形によって簡約化します。

拡大係数行列は次のようになります。

$\begin{bmatrix} t+1 & 1 & 1 \\ 1 & t+1 & 1 \end{bmatrix}$

行を入れ替えます。

$\begin{bmatrix} 1 & t+1 & 1 \\ t+1 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

2行目から1行目の $(t+1)$ 倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & t+1 & 1 \\ 0 & 1 - (t+1)^2 & 1 - (t+1) \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 & t+1 & 1 \\ 0 & 1 - (t^2 + 2t + 1) & 1 - t - 1 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 & t+1 & 1 \\ 0 & -t^2 - 2t & -t \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 & t+1 & 1 \\ 0 & -t(t + 2) & -t \end{bmatrix}$

場合分けをします。

(1) $t = 0$ のとき

$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

このとき、$x_1 + x_2 = 1$ となり、$x_2 = s$ とすれば、$x_1 = 1 - s$ となります。

よって、$x = \begin{bmatrix} 1 - s \\ s \end{bmatrix}$ (ただし、$s$ は任意の実数)

(2) $t = -2$ のとき

$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$

このとき、解は存在しません。

(3) $t \neq 0, t \neq -2$ のとき

$\begin{bmatrix} 1 & t+1 & 1 \\ 0 & t(t + 2) & t \end{bmatrix}$

2行目を $-t(t+2)$ で割ると

$\begin{bmatrix} 1 & t+1 & 1 \\ 0 & t + 2 & t \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 & t+1 & 1 \\ 0 & (t + 2) & 1 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 & t+1 & 1 \\ 0 & 1 & \frac{1}{t + 2} \end{bmatrix}$

1行目から2行目の $(t+1)$ 倍を引きます。

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 - \frac{t+1}{t+2} \\ 0 & 1 & \frac{1}{t+2} \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & \frac{t+2 - (t+1)}{t+2} \\ 0 & 1 & \frac{1}{t+2} \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & \frac{1}{t+2} \\ 0 & 1 & \frac{1}{t+2} \end{bmatrix}$

よって、$x_1 = \frac{1}{t+2}, x_2 = \frac{1}{t+2}$ となり、

$x = \begin{bmatrix} \frac{1}{t+2} \\ \frac{1}{t+2} \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

$t \neq -2$ のとき解を持ちます。

(1) $t = 0$ のとき、解は $x = \begin{bmatrix} 1 - s \\ s \end{bmatrix}$ (ただし、$s$ は任意の実数)

(2) $t \neq 0, t \neq -2$ のとき、解は $x = \begin{bmatrix} \frac{1}{t+2} \\ \frac{1}{t+2} \end{bmatrix}$