公比が2で、第4項が1である等比数列について、初項を求め、初項から第8項までの和を求める問題です。

1. 問題の内容

公比が2で、第4項が1である等比数列について、初項を求め、初項から第8項までの和を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 初項を求める。

等比数列の一般項は $a_n = a_1 r^{n-1}$ で表されます。ここで、$a_n$は第n項、$a_1$は初項、$r$は公比です。

問題文より、$r=2$で、第4項$a_4=1$なので、

$a_4 = a_1 r^{4-1} = a_1 \cdot 2^3 = 1$

$8a_1 = 1$

$a_1 = \frac{1}{8}$

(2) 初項から第8項までの和を求める。

等比数列の和の公式は、$S_n = \frac{a_1 (r^n - 1)}{r - 1}$で表されます。ここで、$S_n$は初項から第n項までの和、$a_1$は初項、$r$は公比です。

$n=8$, $a_1=\frac{1}{8}$, $r=2$を代入すると、

$S_8 = \frac{\frac{1}{8}(2^8 - 1)}{2 - 1} = \frac{\frac{1}{8}(256 - 1)}{1} = \frac{255}{8}$

3. 最終的な答え

(1) 初項: $\frac{1}{8}$

(2) 初項から第8項までの和: $\frac{255}{8}$