以下の二つの不等式を証明します。 (1) $0 \le x < \frac{\pi}{2}$ のとき、$\tan x \ge x$ (2) $x > 0$ のとき、$2\sqrt{x} \ge \log x + 2$

1. 問題の内容

以下の二つの不等式を証明します。

(1) $0 \le x < \frac{\pi}{2}$ のとき、$\tan x \ge x$

(2) $x > 0$ のとき、$2\sqrt{x} \ge \log x + 2$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = \tan x - x$ とおきます。

$f'(x) = \frac{1}{\cos^2 x} - 1 = \frac{1 - \cos^2 x}{\cos^2 x} = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \tan^2 x$

$0 \le x < \frac{\pi}{2}$ において、$f'(x) \ge 0$ なので、$f(x)$ は単調増加です。

$f(0) = \tan 0 - 0 = 0$ なので、$0 \le x < \frac{\pi}{2}$ において、$f(x) \ge 0$ となります。

したがって、$0 \le x < \frac{\pi}{2}$ のとき、$\tan x \ge x$ が成り立ちます。

(2) $g(x) = 2\sqrt{x} - \log x - 2$ とおきます。

$g'(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{x} = \frac{\sqrt{x} - 1}{x}$

$x > 0$ なので、$x < 1$ のとき $g'(x) < 0$ 、$x > 1$ のとき $g'(x) > 0$ です。

したがって、$g(x)$ は $x=1$ で最小値をとります。

$g(1) = 2\sqrt{1} - \log 1 - 2 = 2 - 0 - 2 = 0$

したがって、$x > 0$ のとき、$g(x) \ge 0$ となります。

したがって、$x > 0$ のとき、$2\sqrt{x} \ge \log x + 2$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

(1) $0 \le x < \frac{\pi}{2}$ のとき、$\tan x \ge x$

(2) $x > 0$ のとき、$2\sqrt{x} \ge \log x + 2$