線形写像 $T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ が $T(\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 1 & 5 & 3 \end{bmatrix} \mathbf{x}$ で与えられている。 $\mathbb{R}^3$ の基を $\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}$、$\mathbb{R}^2$ の基を $\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} \right\}$ とするとき、$T$ の与えられた基に関する表現行列を求めよ。

1. 問題の内容

線形写像 $T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2$ が $T(\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 1 & 5 & 3 \end{bmatrix} \mathbf{x}$ で与えられている。

$\mathbb{R}^3$ の基を $\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}$、$\mathbb{R}^2$ の基を $\left\{ \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} \right\}$ とするとき、$T$ の与えられた基に関する表現行列を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\mathbb{R}^3$ の基の各ベクトルを $T$ で写したものを計算する。

$T\left( \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 1 & 5 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}$

$T\left( \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 1 & 5 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 \\ 17 \end{bmatrix}$

$T\left( \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 1 & 5 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 8 \end{bmatrix}$

次に、これらのベクトルを $\mathbb{R}^2$ の基で表現する。すなわち、

$\begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix} = a \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} + b \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 12 \\ 17 \end{bmatrix} = c \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} + d \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 5 \\ 8 \end{bmatrix} = e \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} + f \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$

となる $a, b, c, d, e, f$ を求める。

$a + 2b = 3$

$2a + 3b = 4$

これを解くと $a = -1$, $b = 2$

$c + 2d = 12$

$2c + 3d = 17$

これを解くと $c = -2$, $d = 7$

$e + 2f = 5$

$2e + 3f = 8$

これを解くと $e = -1$, $f = 3$

したがって、表現行列は

$\begin{bmatrix} -1 & -2 & -1 \\ 2 & 7 & 3 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

$\begin{bmatrix} -1 & -2 & -1 \\ 2 & 7 & 3 \end{bmatrix}$