線形写像 $T(x) = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 1 & 5 & 3 \end{bmatrix}x$ ($x \in \mathbb{R}^3, T(x) \in \mathbb{R}^2$) の、与えられた基に関する表現行列を求めます。$\mathbb{R}^3$ の基は $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ であり、$\mathbb{R}^2$ の基は $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$ です。

1. 問題の内容

線形写像 $T(x) = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 1 & 5 & 3 \end{bmatrix}x$ ($x \in \mathbb{R}^3, T(x) \in \mathbb{R}^2$) の、与えられた基に関する表現行列を求めます。$\mathbb{R}^3$ の基は $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ であり、$\mathbb{R}^2$ の基は $\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}$, $\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$ です。

2. 解き方の手順

$\mathbb{R}^3$ の基の各ベクトルを線形写像 $T$ で写像し、その結果を $\mathbb{R}^2$ の基で表現します。

(1) $T\left( \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 1 & 5 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix} = a\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} + b\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$ を満たす $a, b$ を求めます。

$a + 2b = 3$

$2a + 3b = 4$

上の式を2倍した $2a+4b = 6$ から下の式を引くと、

$b = 2$

$a = 3 - 2b = 3 - 4 = -1$

したがって、$\begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix} = -1\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} + 2\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$

(2) $T\left( \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 1 & 5 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 12 \\ 17 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 12 \\ 17 \end{bmatrix} = a\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} + b\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$ を満たす $a, b$ を求めます。

$a + 2b = 12$

$2a + 3b = 17$

上の式を2倍した $2a+4b = 24$ から下の式を引くと、

$b = 7$

$a = 12 - 2b = 12 - 14 = -2$

したがって、$\begin{bmatrix} 12 \\ 17 \end{bmatrix} = -2\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} + 7\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$

(3) $T\left( \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} \right) = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 1 \\ 1 & 5 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 8 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 5 \\ 8 \end{bmatrix} = a\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} + b\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$ を満たす $a, b$ を求めます。

$a + 2b = 5$

$2a + 3b = 8$

上の式を2倍した $2a+4b = 10$ から下の式を引くと、

$b = 2$

$a = 5 - 2b = 5 - 4 = 1$

したがって、$\begin{bmatrix} 5 \\ 8 \end{bmatrix} = 1\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} + 2\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$

表現行列は、各ベクトルの係数を列ベクトルとして並べたものです。

3. 最終的な答え

$\begin{bmatrix} -1 & -2 & 1 \\ 2 & 7 & 2 \end{bmatrix}$