与えられた2つの定積分の値を求めます。 (1) $\int_{1}^{2} \sqrt{e^{6x}} dx$ (2) $\int_{0}^{1} (e^{3x}-1)(e^{-x}+2) dx$

1. 問題の内容

与えられた2つの定積分の値を求めます。

(1) $\int_{1}^{2} \sqrt{e^{6x}} dx$

(2) $\int_{0}^{1} (e^{3x}-1)(e^{-x}+2) dx$

2. 解き方の手順

(1) まず、積分を計算します。

$\sqrt{e^{6x}}$は$e^{3x}$と書き換えられます。

したがって、

$\int_{1}^{2} e^{3x} dx$

$=\left[\frac{1}{3}e^{3x}\right]_{1}^{2}$

$=\frac{1}{3}(e^{6} - e^{3})$

(2) まず、積分の中身を展開します。

$(e^{3x}-1)(e^{-x}+2) = e^{3x}e^{-x} + 2e^{3x} - e^{-x} - 2$

$= e^{2x} + 2e^{3x} - e^{-x} - 2$

したがって、

$\int_{0}^{1} (e^{2x} + 2e^{3x} - e^{-x} - 2) dx$

$=\left[\frac{1}{2}e^{2x} + \frac{2}{3}e^{3x} + e^{-x} - 2x\right]_{0}^{1}$

$=(\frac{1}{2}e^{2} + \frac{2}{3}e^{3} + e^{-1} - 2) - (\frac{1}{2} + \frac{2}{3} + 1)$

$=\frac{1}{2}e^{2} + \frac{2}{3}e^{3} + \frac{1}{e} - 2 - \frac{1}{2} - \frac{2}{3} - 1$

$=\frac{1}{2}e^{2} + \frac{2}{3}e^{3} + \frac{1}{e} - \frac{17}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{3}(e^{6} - e^{3})$

(2) $\frac{1}{2}e^{2} + \frac{2}{3}e^{3} + \frac{1}{e} - \frac{17}{6}$