1つのサイコロを1620回投げたとき、6の目が出る回数を$X$とします。このとき、$255 \le X \le 294$となる確率を求める問題です。$X$は二項分布$B(1620, \frac{1}{6})$に従います。

1. 問題の内容

1つのサイコロを1620回投げたとき、6の目が出る回数を$X$とします。このとき、$255 \le X \le 294$となる確率を求める問題です。$X$は二項分布$B(1620, \frac{1}{6})$に従います。

2. 解き方の手順

二項分布$B(n, p)$において、$n$が大きい場合、正規分布で近似することができます。

この問題の場合、$n = 1620$、$p = \frac{1}{6}$なので、平均$\mu$と分散$\sigma^2$は以下のようになります。

$\mu = np = 1620 \times \frac{1}{6} = 270$

$\sigma^2 = np(1-p) = 1620 \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} = 225$

したがって、標準偏差$\sigma$は$\sigma = \sqrt{225} = 15$となります。

$X$は近似的に正規分布$N(270, 15^2)$に従います。

求める確率は$P(255 \le X \le 294)$ですが、連続修正を行う必要があります。

つまり、$P(254.5 < X < 294.5)$を計算します。

$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$として、$Z$を標準正規分布に従う変数とします。

$Z_1 = \frac{254.5 - 270}{15} = \frac{-15.5}{15} \approx -1.03$

$Z_2 = \frac{294.5 - 270}{15} = \frac{24.5}{15} \approx 1.63$

したがって、求める確率は$P(-1.03 < Z < 1.63)$となります。

これは、$P(Z < 1.63) - P(Z < -1.03)$と等しくなります。

標準正規分布表から、$P(Z < 1.63) \approx 0.9484$、$P(Z < -1.03) \approx 0.1515$です。

$P(-1.03 < Z < 1.63) = 0.9484 - 0.1515 = 0.7969$

3. 最終的な答え

求める確率は約0.7969です。