袋の中に5枚のコインが入っている。そのうち2枚は両面A、残り3枚は片面A、片面Bである。 (i) 袋から無作為に1枚選び投げたとき、Aが出る確率を求めよ。 (ii) 袋から無作為に1枚選び投げたとき、Aが出た。このとき、裏面もAである確率を求めよ。

1. 問題の内容

袋の中に5枚のコインが入っている。そのうち2枚は両面A、残り3枚は片面A、片面Bである。

(i) 袋から無作為に1枚選び投げたとき、Aが出る確率を求めよ。

(ii) 袋から無作為に1枚選び投げたとき、Aが出た。このとき、裏面もAである確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(i) Aが出る確率

まず、それぞれのコインを選ぶ確率を考える。どのコインも同様に確からしいので、確率は $\frac{1}{5}$ である。

両面Aのコインを選ぶ確率は $\frac{2}{5}$ で、このときAが出る確率は1である。

片面A、片面Bのコインを選ぶ確率は $\frac{3}{5}$ で、このときAが出る確率は $\frac{1}{2}$ である。

したがって、Aが出る確率は以下の式で計算できる。

$\frac{2}{5} \times 1 + \frac{3}{5} \times \frac{1}{2}$

(ii) Aが出たとき、裏面もAである確率

これは条件付き確率の問題である。

Aが出たという条件のもとで、選んだコインが両面Aである確率を求める。

ベイズの定理を用いる。

$P(両面A | Aが出た) = \frac{P(Aが出た | 両面A) \times P(両面A)}{P(Aが出た)}$

ここで、

$P(Aが出た | 両面A) = 1$

$P(両面A) = \frac{2}{5}$

$P(Aが出た)$ は(i)で求めた確率と同じである。

3. 最終的な答え

(i) Aが出る確率:

$\frac{2}{5} \times 1 + \frac{3}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{2}{5} + \frac{3}{10} = \frac{4}{10} + \frac{3}{10} = \frac{7}{10}$

(ii) Aが出たとき、裏面もAである確率:

$P(両面A | Aが出た) = \frac{1 \times \frac{2}{5}}{\frac{7}{10}} = \frac{\frac{2}{5}}{\frac{7}{10}} = \frac{2}{5} \times \frac{10}{7} = \frac{20}{35} = \frac{4}{7}$

(i) $\frac{7}{10}$

(ii) $\frac{4}{7}$