行列 $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}$ で定義される線形写像 $y = Ax$ によって、以下の不等式で表される領域がどのように移るか、写像後の領域を図示する問題です。 (1) $0 \le x_1 \le 1, 0 \le x_2 \le 1$ (2) $x_1 \ge 0$ (3) $x_2 \le -x_1$

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{bmatrix}$ で定義される線形写像 $y = Ax$ によって、以下の不等式で表される領域がどのように移るか、写像後の領域を図示する問題です。

(1) $0 \le x_1 \le 1, 0 \le x_2 \le 1$

(2) $x_1 \ge 0$

(3) $x_2 \le -x_1$

2. 解き方の手順

(1)

まず、$x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$ とします。

$y = Ax = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2x_1 + x_2 \\ 3x_1 + x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \end{bmatrix}$

$0 \le x_1 \le 1$ と $0 \le x_2 \le 1$ は、正方形領域を表します。この正方形の頂点は、$\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ です。これらの頂点の像を計算します。

$\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

したがって、写像後の領域は、頂点が$\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ である平行四辺形になります。

(2)

$x_1 \ge 0$ は、$x_1x_2$ 平面上の $x_1$ 軸より右側の領域を表します。 $y = Ax$ なので、 $x = A^{-1}y$ となります。

$A^{-1} = \frac{1}{2-3}\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -3 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 3 & -2 \end{bmatrix}$.

$x_1 = -y_1 + y_2 \ge 0$. したがって、 $y_2 \ge y_1$ 。これは、$y_1y_2$ 平面上の直線 $y_2 = y_1$ より上の領域です。

(3)

$x_2 \le -x_1$

$x = A^{-1}y$ なので、$x_1 = -y_1 + y_2$ かつ $x_2 = 3y_1 - 2y_2$。

したがって、$3y_1 - 2y_2 \le -(-y_1 + y_2) = y_1 - y_2$

$3y_1 - 2y_2 \le y_1 - y_2$

$2y_1 \le y_2$

$y_2 \ge 2y_1$

これは、$y_1y_2$ 平面上の直線 $y_2 = 2y_1$ より上の領域です。

3. 最終的な答え

(1) 頂点が$\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ である平行四辺形。

(2) $y_2 \ge y_1$ を満たす領域。

(3) $y_2 \ge 2y_1$ を満たす領域。