与えられた正方行列 $A$ に対して、$T = T_A$ とおいたとき、以下のものを求めます。 (i) $T$ の固有多項式 $g_T(t)$ (ii) $T$ の固有値 $\lambda$ (iii) 各固有値 $\lambda$ に対する固有空間 $W(\lambda; T)$ ここでは行列 $A = \begin{bmatrix} 5 & -4 & -2 \\ 6 & -5 & -2 \\ 3 & -3 & 2 \end{bmatrix}$ について解答します。

1. 問題の内容

与えられた正方行列 $A$ に対して、$T = T_A$ とおいたとき、以下のものを求めます。

(i) $T$ の固有多項式 $g_T(t)$

(ii) $T$ の固有値 $\lambda$

(iii) 各固有値 $\lambda$ に対する固有空間 $W(\lambda; T)$

ここでは行列 $A = \begin{bmatrix} 5 & -4 & -2 \\ 6 & -5 & -2 \\ 3 & -3 & 2 \end{bmatrix}$ について解答します。

2. 解き方の手順

(i) 固有多項式 $g_T(t)$ を求める

$g_T(t) = \det(tI - A)$ を計算します。ここで、$I$ は単位行列です。

$tI - A = \begin{bmatrix} t-5 & 4 & 2 \\ -6 & t+5 & 2 \\ -3 & 3 & t-2 \end{bmatrix}$

$\det(tI - A) = (t-5)((t+5)(t-2) - 6) - 4(-6(t-2) + 6) + 2(-18 + 3(t+5))$

$= (t-5)(t^2 + 3t - 10 - 6) - 4(-6t + 12 + 6) + 2(-18 + 3t + 15)$

$= (t-5)(t^2 + 3t - 16) - 4(-6t + 18) + 2(3t - 3)$

$= t^3 + 3t^2 - 16t - 5t^2 - 15t + 80 + 24t - 72 + 6t - 6$

$= t^3 - 2t^2 - t + 2$

$g_T(t) = t^3 - 2t^2 - t + 2$

(ii) 固有値 $\lambda$ を求める

$g_T(t) = 0$ となる $t$ を求めます。

$t^3 - 2t^2 - t + 2 = 0$

$(t-2)(t^2 - 1) = 0$

$(t-2)(t-1)(t+1) = 0$

よって、固有値は $\lambda = 2, 1, -1$ です。

(iii) 各固有値に対する固有空間 $W(\lambda; T)$ を求める

各固有値 $\lambda$ に対して、$(A - \lambda I)v = 0$ を満たすベクトル $v$ を求めます。

$\lambda = 2$:

$A - 2I = \begin{bmatrix} 3 & -4 & -2 \\ 6 & -7 & -2 \\ 3 & -3 & 0 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 3 & -4 & -2 \\ 6 & -7 & -2 \\ 3 & -3 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$3x - 3y = 0 \implies x = y$

$3x - 4y - 2z = 0 \implies 3x - 4x - 2z = 0 \implies -x - 2z = 0 \implies x = -2z$

したがって、$x = -2z, y = -2z$ であり、$v = \begin{bmatrix} -2z \\ -2z \\ z \end{bmatrix} = z \begin{bmatrix} -2 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}$

$W(2; T) = \text{span}\{\begin{bmatrix} -2 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}\}$

$\lambda = 1$:

$A - I = \begin{bmatrix} 4 & -4 & -2 \\ 6 & -6 & -2 \\ 3 & -3 & 1 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 4 & -4 & -2 \\ 6 & -6 & -2 \\ 3 & -3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$x = y$

$3x - 3y + z = 0 \implies z = 0$

したがって、$x = y$ であり、$z = 0$ なので、$v = \begin{bmatrix} x \\ x \\ 0 \end{bmatrix} = x \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$

$W(1; T) = \text{span}\{\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}\}$

$\lambda = -1$:

$A + I = \begin{bmatrix} 6 & -4 & -2 \\ 6 & -4 & -2 \\ 3 & -3 & 3 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 6 & -4 & -2 \\ 6 & -4 & -2 \\ 3 & -3 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$

$x - y + z = 0 \implies x = y - z$

$6x - 4y - 2z = 0 \implies 6(y-z) - 4y - 2z = 0 \implies 2y - 8z = 0 \implies y = 4z$

したがって、$y = 4z$ であり、$x = 4z - z = 3z$ なので、$v = \begin{bmatrix} 3z \\ 4z \\ z \end{bmatrix} = z \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix}$

$W(-1; T) = \text{span}\{\begin{bmatrix} 3 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix}\}$

3. 最終的な答え

(i) $g_T(t) = t^3 - 2t^2 - t + 2$

(ii) $\lambda = 2, 1, -1$

(iii) $W(2; T) = \text{span}\{\begin{bmatrix} -2 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}\}$, $W(1; T) = \text{span}\{\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}\}$, $W(-1; T) = \text{span}\{\begin{bmatrix} 3 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix}\}$