10本のくじの中に3本の当たりくじがあるとき、この中から同時に2本のくじを引くとき、当たりくじの本数の期待値を求めよ。

1. 問題の内容

10本のくじの中に3本の当たりくじがあるとき、この中から同時に2本のくじを引くとき、当たりくじの本数の期待値を求めよ。

2. 解き方の手順

当たりくじの本数を $X$ とすると、$X$ が取りうる値は0, 1, 2である。

それぞれの確率を計算する。

* $X = 0$ (2本とも外れ) の確率:

外れくじは7本なので、2本とも外れる確率は

$P(X=0) = \frac{{}_{7}C_{2}}{{}_{10}C_{2}} = \frac{\frac{7 \times 6}{2 \times 1}}{\frac{10 \times 9}{2 \times 1}} = \frac{21}{45} = \frac{7}{15}$

* $X = 1$ (1本が当たり、1本が外れ) の確率:

当たりくじ3本から1本、外れくじ7本から1本を選ぶ確率は

$P(X=1) = \frac{{}_{3}C_{1} \times {}_{7}C_{1}}{{}_{10}C_{2}} = \frac{3 \times 7}{\frac{10 \times 9}{2 \times 1}} = \frac{21}{45} = \frac{7}{15}$

* $X = 2$ (2本とも当たり) の確率:

当たりくじ3本から2本選ぶ確率は

$P(X=2) = \frac{{}_{3}C_{2}}{{}_{10}C_{2}} = \frac{\frac{3 \times 2}{2 \times 1}}{\frac{10 \times 9}{2 \times 1}} = \frac{3}{45} = \frac{1}{15}$

期待値$E(X)$は、

$E(X) = 0 \times P(X=0) + 1 \times P(X=1) + 2 \times P(X=2)$

$E(X) = 0 \times \frac{7}{15} + 1 \times \frac{7}{15} + 2 \times \frac{1}{15}$

$E(X) = 0 + \frac{7}{15} + \frac{2}{15} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}$

3. 最終的な答え

3/5 本