異なる色の12個の玉を、指定された方法で分ける場合の数を計算する問題です。 (1) 12個の玉を、A, B, Cの3つの組に4個ずつ分ける場合の数を求めます。 (2) 12個の玉を、4個ずつの3つの組に分ける場合の数を求めます。 (3) 12個の玉を、2個、2個、2個、6個の4つの組に分ける場合の数を求めます。

1. 問題の内容

異なる色の12個の玉を、指定された方法で分ける場合の数を計算する問題です。

(1) 12個の玉を、A, B, Cの3つの組に4個ずつ分ける場合の数を求めます。

(2) 12個の玉を、4個ずつの3つの組に分ける場合の数を求めます。

(3) 12個の玉を、2個、2個、2個、6個の4つの組に分ける場合の数を求めます。

2. 解き方の手順

(1) A, B, Cの3つの組に4個ずつ分ける場合

まず、12個の玉からAに入れる4個を選ぶ場合の数は ${}_{12}C_4$ です。

次に、残りの8個の玉からBに入れる4個を選ぶ場合の数は ${}_8C_4$ です。

最後に、残りの4個の玉はCに入れるので、${}_4C_4 = 1$ 通りです。

したがって、求める場合の数は

${}_{12}C_4 \times {}_8C_4 \times {}_4C_4 = \frac{12!}{4!8!} \times \frac{8!}{4!4!} \times 1 = \frac{12!}{4!4!4!} = 34650$

(2) 4個ずつの3つの組に分ける場合

まず、12個の玉を4個、4個、4個の3つの組に分ける場合の数は、(1)と同様に $\frac{12!}{4!4!4!} = 34650$ です。

ただし、この場合は組に区別がないため、3つの組の並び順を考慮する必要はありません。

つまり、3! = 6 通りの並び順が同じ分け方になるので、34650を6で割る必要があります。

したがって、求める場合の数は

$\frac{12!}{4!4!4!3!} = \frac{34650}{6} = 5775$

(3) 2個, 2個, 2個, 6個の4つの組に分ける場合

まず、12個の玉から6個を選ぶ場合の数は ${}_{12}C_6$ です。

次に、残りの6個の玉から2個を選ぶ場合の数は ${}_6C_2$ です。

次に、残りの4個の玉から2個を選ぶ場合の数は ${}_4C_2$ です。

最後に、残りの2個の玉から2個を選ぶ場合の数は ${}_2C_2 = 1$ 通りです。

ただし、2個の組が3つあるので、3! = 6 通りの並び順を考慮する必要はありません。

したがって、求める場合の数は

$\frac{{}_{12}C_6 \times {}_6C_2 \times {}_4C_2 \times {}_2C_2}{3!} = \frac{\frac{12!}{6!6!} \times \frac{6!}{2!4!} \times \frac{4!}{2!2!} \times 1}{3!} = \frac{\frac{12!}{6!2!2!2!}}{3!} = \frac{12!}{6!(2!)^33!} = \frac{12!}{6! \cdot 8 \cdot 6} = \frac{12!}{6!48} = \frac{665280}{48} = 13860$

3. 最終的な答え

(1) 34650通り

(2) 5775通り

(3) 13860通り