問題1: 5個の文字 a, a, a, b, c から3個を選んで1列に並べるとき、その並べ方は何通りあるか。 問題2: 大中小3個のさいころを投げるとき、以下の場合は何通りあるか。 (1) 目の和が7になる場合 (2) 目の積が8になる場合

1. 問題の内容

問題1: 5個の文字 a, a, a, b, c から3個を選んで1列に並べるとき、その並べ方は何通りあるか。

問題2: 大中小3個のさいころを投げるとき、以下の場合は何通りあるか。

(1) 目の和が7になる場合

(2) 目の積が8になる場合

2. 解き方の手順

問題1：

3つの文字を選ぶ組み合わせを考える。

(1) a, a, a の場合：並べ方は 1通り。

(2) a, a, b の場合：並べ方は $3! / 2! = 3$通り。

(3) a, a, c の場合：並べ方は $3! / 2! = 3$通り。

(4) a, b, c の場合：並べ方は $3! = 6$通り。

したがって、並べ方の総数は $1 + 3 + 3 + 6 = 13$通り。

問題2(1)：

大、中、小のさいころの目をそれぞれ x, y, z とすると、$x + y + z = 7$ となる組み合わせを考える。

ただし、$1 \le x \le 6$, $1 \le y \le 6$, $1 \le z \le 6$ である。

考えられる組み合わせは以下の通り。

(1, 1, 5), (1, 2, 4), (1, 3, 3), (1, 4, 2), (1, 5, 1)

(2, 1, 4), (2, 2, 3), (2, 3, 2), (2, 4, 1)

(3, 1, 3), (3, 2, 2), (3, 3, 1)

(4, 1, 2), (4, 2, 1)

(5, 1, 1)

それぞれの組み合わせに対して、大小中の並び方を考える。

(1, 1, 5)：3通り

(1, 2, 4)：6通り

(1, 3, 3)：3通り

(1, 4, 2)：6通り

(1, 5, 1)：3通り

(2, 1, 4)：6通り

(2, 2, 3)：3通り

(2, 3, 2)：6通り

(2, 4, 1)：6通り

(3, 1, 3)：3通り

(3, 2, 2)：3通り

(3, 3, 1)：3通り

(4, 1, 2)：6通り

(4, 2, 1)：6通り

(5, 1, 1)：3通り

合計は $3+6+3+6+6+3+6+6+3+3+3+6+6+3 = 15$通り

別解：

$x' = x-1$, $y'=y-1$, $z'=z-1$とすると、$x' + y' + z' = 4$。ただし、$0 \le x' \le 5$, $0 \le y' \le 5$, $0 \le z' \le 5$。

これは、$x' + y' + z' = 4$ を満たす非負整数の組の数を求める問題に帰着する。

重複組み合わせの公式より、${3+4-1 \choose 4} = {6 \choose 4} = {6 \choose 2} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15$通り。

問題2(2)：

大、中、小のさいころの目をそれぞれ x, y, z とすると、$xyz = 8$ となる組み合わせを考える。

ただし、$1 \le x \le 6$, $1 \le y \le 6$, $1 \le z \le 6$ である。

$8 = 2^3$ であるので、可能性のある組み合わせは以下の通り。

(1, 1, 8) - これは不可能

(1, 2, 4)

(1, 4, 2)

(1, 8, 1) - これは不可能

(2, 1, 4)

(2, 2, 2)

(2, 4, 1)

(4, 1, 2)

(4, 2, 1)

(8, 1, 1) - これは不可能

したがって、(1, 2, 4), (2, 2, 2), (2, 4, 1) の組み合わせを考慮すればよい。

(1, 2, 4) の並び方は $3! = 6$通り。

(2, 2, 2) の並び方は 1通り。

(2, 4, 1) の並び方は $3! = 6$通り。

しかし、並び方は(1, 2, 4)と(2, 4, 1)は同じ並びなので、3つのさいころに区別があるので、$3! = 6$通り。

(2,2,2)の並び方は1通り。

ゆえに、$6 + 1 = 3$通りではない

(1,2,4), (1,4,2), (2,1,4), (2,4,1), (4,1,2), (4,2,1), (2,2,2)

最終的に7通り。

3. 最終的な答え

問題1：13通り

問題2(1)：15通り

問題2(2)：6 + 1 = 7通り