大人8人と子ども4人の中から5人を選ぶとき、以下の選び方は何通りあるか。 (1) すべての選び方 (2) 大人3人と子ども2人を選ぶ (3) 子どもが少なくとも1人は含まれるように選ぶ (4) 特定の2人A, Bがともに選ばれる (5) Aは選ばれるが、Bは選ばれない

1. 問題の内容

大人8人と子ども4人の中から5人を選ぶとき、以下の選び方は何通りあるか。

(1) すべての選び方

(2) 大人3人と子ども2人を選ぶ

(3) 子どもが少なくとも1人は含まれるように選ぶ

(4) 特定の2人A, Bがともに選ばれる

(5) Aは選ばれるが、Bは選ばれない

2. 解き方の手順

(1) すべての選び方

12人の中から5人を選ぶので、組み合わせの数で計算します。

$_{12}C_5 = \frac{12!}{5!7!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 12 \times 11 \times 3 \times 2 = 792$

(2) 大人3人と子ども2人を選ぶ

大人8人の中から3人を選び、子ども4人の中から2人を選ぶので、それぞれの組み合わせの数を掛け合わせます。

大人の選び方: $_8C_3 = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 = 56$

子どもの選び方: $_4C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

よって、 $56 \times 6 = 336$

(3) 子どもが少なくとも1人は含まれるように選ぶ

全体の選び方から、子どもが一人も含まれない選び方を引きます。

子どもが一人も含まれない選び方とは、大人8人の中から5人を選ぶ選び方です。

$_8C_5 = \frac{8!}{5!3!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 = 56$

よって、 $792 - 56 = 736$

(4) 特定の2人A, Bがともに選ばれる

AとBはすでに選ばれているので、残りの10人（大人6人、子ども4人）の中から3人を選ぶことになります。

$_{10}C_3 = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$

(5) Aは選ばれるが、Bは選ばれない

Aは選ばれているので、残りの11人（大人7人、子ども4人）の中から4人を選ぶことになります。ただし、Bは選ばれないので、Bを除いた10人（大人6人、子ども4人）の中から4人を選ぶことになります。

$_{10}C_4 = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 7 = 210$

3. 最終的な答え

(1) 792通り

(2) 336通り

(3) 736通り

(4) 120通り

(5) 210通り