組み合わせの計算問題です。 1. (1) ${}_6C_3$、(2) ${}_{11}C_8$、(3) ${}_8C_0$ の値を求めます。

1. 問題の内容

組み合わせの計算問題です。

1. (1) ${}_6C_3$、(2) ${}_{11}C_8$、(3) ${}_8C_0$ の値を求めます。

2. (1) 8枚の絵はがきから3枚を選ぶ方法は何通りあるか求めます。

3. (2) 12人の生徒の中から8人を選ぶ方法は何通りあるか求めます。

2. 解き方の手順

組み合わせの公式 ${}_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ を用いて計算します。ここで、$n!$は$n$の階乗を表し、$n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 2 \times 1$です。

1. (1) ${}_6C_3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(3 \times 2 \times 1)} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

2. (2) ${}_{11}C_8 = \frac{11!}{8!(11-8)!} = \frac{11!}{8!3!} = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8!}{(8!) \times (3 \times 2 \times 1)} = \frac{11 \times 10 \times 9}{3 \times 2 \times 1} = 11 \times 5 \times 3 = 165$

3. (3) ${}_8C_0 = \frac{8!}{0!(8-0)!} = \frac{8!}{0!8!} = 1$ (定義より、$0! = 1$、${}_nC_0 = 1$)

4. (1) 8枚の絵はがきから3枚を選ぶ方法の数は ${}_8C_3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5!}{(3 \times 2 \times 1)(5!)} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 = 56$通りです。

5. (2) 12人の生徒の中から8人を選ぶ方法の数は ${}_{12}C_8 = \frac{12!}{8!(12-8)!} = \frac{12!}{8!4!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8!}{(8!) \times (4 \times 3 \times 2 \times 1)} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 495$通りです。

3. 最終的な答え

1. (1) 20

2. (2) 165

3. (3) 1

4. (1) 56通り

5. (2) 495通り