与えられた不等式 $|2-3a| / \sqrt{a^2+1} < 2$ を満たす $a$ の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた不等式 $|2-3a| / \sqrt{a^2+1} < 2$ を満たす $a$ の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式の両辺に $\sqrt{a^2+1}$ をかけます。$\sqrt{a^2+1}$ は常に正なので不等号の向きは変わりません。

$$|2-3a| < 2\sqrt{a^2+1}$$

次に、両辺を2乗します。これにより絶対値記号とルート記号がなくなります。

$$(2-3a)^2 < 4(a^2+1)$$

左辺を展開し、右辺も展開します。

$$4 - 12a + 9a^2 < 4a^2 + 4$$

整理して、$a$ に関する二次不等式を得ます。

$$5a^2 - 12a < 0$$

$a$ で括ります。

$$a(5a - 12) < 0$$

この不等式を満たす $a$ の範囲を求めます。$a(5a-12) = 0$ となる $a$ の値は $a=0$ と $a=12/5$ です。

$a(5a-12) < 0$ となるのは、$0 < a < 12/5$ のときです。

3. 最終的な答え

$0 < a < \frac{12}{5}$