10本のくじの中に3本の当たりくじがある。この中から同時に2本のくじを引くとき、当たりくじの本数の期待値を求めよ。

1. 問題の内容

10本のくじの中に3本の当たりくじがある。この中から同時に2本のくじを引くとき、当たりくじの本数の期待値を求めよ。

2. 解き方の手順

当たりくじの本数は0本、1本、2本のいずれかである。それぞれの確率を計算し、期待値を求める。

* 当たりくじの本数が0本の場合:

当たりくじ以外から2本引く確率。当たりくじ以外の本数は7本なので、確率は

$P(0) = \frac{{}_7C_2}{{}_{10}C_2} = \frac{\frac{7 \times 6}{2 \times 1}}{\frac{10 \times 9}{2 \times 1}} = \frac{21}{45} = \frac{7}{15}$

* 当たりくじの本数が1本の場合:

当たりくじから1本、当たりくじ以外から1本引く確率。確率は

$P(1) = \frac{{}_3C_1 \times {}_7C_1}{{}_{10}C_2} = \frac{3 \times 7}{\frac{10 \times 9}{2 \times 1}} = \frac{21}{45} = \frac{7}{15}$

* 当たりくじの本数が2本の場合:

当たりくじから2本引く確率。確率は

$P(2) = \frac{{}_3C_2}{{}_{10}C_2} = \frac{\frac{3 \times 2}{2 \times 1}}{\frac{10 \times 9}{2 \times 1}} = \frac{3}{45} = \frac{1}{15}$

期待値$E$は、それぞれの確率と当たりくじの本数を掛け合わせたものの和である。

$E = 0 \times P(0) + 1 \times P(1) + 2 \times P(2) = 0 \times \frac{7}{15} + 1 \times \frac{7}{15} + 2 \times \frac{1}{15} = 0 + \frac{7}{15} + \frac{2}{15} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5}$

3. 最終的な答え

3/5 本