次の計算をせよ。ただし、$a, b$ は正の数とする。 (1) $3^{\frac{2}{3}} \times 3^{\frac{4}{3}}$ (2) $5^{\frac{1}{2}} \times 25^{-\frac{1}{4}}$ (3) $a^{\frac{1}{2}} \times a^{\frac{1}{6}} \div a^{\frac{1}{3}}$ (4) $(a^{-\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{2}})^2 \times a^{\frac{5}{3}}$

1. 問題の内容

次の計算をせよ。ただし、$a, b$ は正の数とする。

(1) $3^{\frac{2}{3}} \times 3^{\frac{4}{3}}$

(2) $5^{\frac{1}{2}} \times 25^{-\frac{1}{4}}$

(3) $a^{\frac{1}{2}} \times a^{\frac{1}{6}} \div a^{\frac{1}{3}}$

(4) $(a^{-\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{2}})^2 \times a^{\frac{5}{3}}$

2. 解き方の手順

(1) 指数法則 $a^m \times a^n = a^{m+n}$ を用いる。

$3^{\frac{2}{3}} \times 3^{\frac{4}{3}} = 3^{\frac{2}{3} + \frac{4}{3}} = 3^{\frac{6}{3}} = 3^2$

(2) $25 = 5^2$ であるから、$25^{-\frac{1}{4}} = (5^2)^{-\frac{1}{4}} = 5^{-\frac{2}{4}} = 5^{-\frac{1}{2}}$

したがって、$5^{\frac{1}{2}} \times 25^{-\frac{1}{4}} = 5^{\frac{1}{2}} \times 5^{-\frac{1}{2}} = 5^{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}} = 5^0$

(3) 指数法則 $a^m \times a^n = a^{m+n}$ および $a^m \div a^n = a^{m-n}$ を用いる。

$a^{\frac{1}{2}} \times a^{\frac{1}{6}} \div a^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{2} + \frac{1}{6} - \frac{1}{3}} = a^{\frac{3}{6} + \frac{1}{6} - \frac{2}{6}} = a^{\frac{2}{6}} = a^{\frac{1}{3}}$

(4) 指数法則 $(a^m)^n = a^{mn}$ および $(ab)^n = a^n b^n$ を用いる。

$(a^{-\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{2}})^2 = (a^{-\frac{1}{3}})^2 (b^{\frac{1}{2}})^2 = a^{-\frac{2}{3}} b^1$

したがって、$(a^{-\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{2}})^2 \times a^{\frac{5}{3}} = a^{-\frac{2}{3}} b \times a^{\frac{5}{3}} = a^{-\frac{2}{3} + \frac{5}{3}} b = a^{\frac{3}{3}} b = a b$

3. 最終的な答え

(1) $9$

(2) $1$

(3) $a^{\frac{1}{3}}$

(4) $ab$