8個の玉があり、それぞれ1から8までの数字が書かれています。まず、2個の玉を選んで箱Aに入れ、次に残りの玉から2個を選んで箱Bに入れ、最後に残りの玉から2個を選んで箱Cに入れます。 (1) 箱Aに入れる玉の選び方は何通りあるか。 (2) 3つの箱への玉の入れ方は全部で何通りあるか。また、箱Aと箱Bには5以下の数が書かれた玉だけを入れ、箱Cには6以上の数が書かれた玉だけを入れる入れ方は何通りあるか。 (3) 箱A, B, Cそれぞれに入れる2個の玉に書かれた数の和を順に$a, b, c$とするとき、$a, b, c$がすべて偶数となるような入れ方は何通りあるか。また、$a, b, c$のうち少なくとも1つが偶数となるような入れ方は何通りあるか。

1. 問題の内容

8個の玉があり、それぞれ1から8までの数字が書かれています。まず、2個の玉を選んで箱Aに入れ、次に残りの玉から2個を選んで箱Bに入れ、最後に残りの玉から2個を選んで箱Cに入れます。

(1) 箱Aに入れる玉の選び方は何通りあるか。

(2) 3つの箱への玉の入れ方は全部で何通りあるか。また、箱Aと箱Bには5以下の数が書かれた玉だけを入れ、箱Cには6以上の数が書かれた玉だけを入れる入れ方は何通りあるか。

(3) 箱A, B, Cそれぞれに入れる2個の玉に書かれた数の和を順に$a, b, c$とするとき、$a, b, c$がすべて偶数となるような入れ方は何通りあるか。また、$a, b, c$のうち少なくとも1つが偶数となるような入れ方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 箱Aに入れる玉の選び方は、8個の玉から2個を選ぶ組み合わせなので、組み合わせの公式を使います。

${}_8C_2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$

(2) まず、3つの箱への玉の入れ方の総数を計算します。箱Aに2個、箱Bに2個、箱Cに2個入れるので、

${}_8C_2 \times {}_6C_2 \times {}_4C_2 = \frac{8 \times 7}{2} \times \frac{6 \times 5}{2} \times \frac{4 \times 3}{2} = 28 \times 15 \times 6 = 2520$

ただし、箱A, B, Cの区別はないので、箱A, B, Cの並び順を考慮して、2520/3! = 420通り。

しかし、この問題は箱に区別があるので、2520が正しい。

次に、箱Aと箱Bには5以下の数、箱Cには6以上の数を入れる場合を考えます。5以下の数は1, 2, 3, 4, 5の5個、6以上の数は6, 7, 8の3個です。

箱Aと箱Bには5以下の数を入れるので、箱Aに入れる2個の選び方は${}_5C_2$通り、箱Bに入れる2個の選び方は残りの3個から2個を選ぶので${}_3C_2$通り。箱Cには6,7,8の3個から2個を選ぶので、${}_3C_2$通り。

${}_5C_2 \times {}_3C_2 = \frac{5 \times 4}{2} \times \frac{3 \times 2}{2} = 10 \times 3 = 30$

箱AとBの区別はないので、30通り。

箱Cは残りの6,7,8から2個選ぶので${}_3C_2 = 3$通り。よって$10 \times 3 \times 3 = 90$。箱A, Bを区別するので$90$通り。

しかし、最初に箱Aに2個、次に箱Bに2個を選ぶので、箱A, Bの区別があるので、

${}_5C_2 \times {}_3C_2 \times {}_3C_2 = 10 \times 3 = 30$。 残りのCには自動的に決まるので1通り。よって30通り。

(3) 箱A, B, Cに入れる数の和がすべて偶数になる場合を考えます。2つの数の和が偶数になるのは、偶数+偶数または奇数+奇数の場合です。

1から8の数字のうち、偶数は2, 4, 6, 8の4個、奇数は1, 3, 5, 7の4個です。

3つの箱の和が全て偶数になるのは、3つの箱がすべて(偶数+偶数)か、あるいは1つが(偶数+偶数)で残りが(奇数+奇数)です。

全て偶数+偶数の場合:${}_4C_2 \times {}_2C_2 = 6 \times 1 = 6$。

一つの箱が偶数+偶数, 残り2つの箱が奇数+奇数となる組み合わせを考えます。

まず偶数+偶数の箱をA, B, Cから1つ選ぶ必要があるので、3通り。

${}_4C_2 \times {}_4C_2 \times {}_2C_2 = 6 \times 6 \times 1 = 36$。この時の箱A, B, Cの選び方は3通りある。

$36 \times 3 = 108$通り。

よって、全て偶数となるのは、$6+108 = 114$通り。

次に、$a, b, c$のうち少なくとも1つが偶数となる場合を考えます。これは、全体からすべて奇数の場合を引けば求まります。

2つの数の和が奇数になるのは、偶数+奇数の場合です。したがって、$a, b, c$すべてが奇数になることはありません。

したがって、少なくとも1つが偶数となる場合は、全体の場合の数からすべて奇数となる場合を引けば良いので、全体の場合の数は${}_8C_2 \times {}_6C_2 \times {}_4C_2 = 2520$より2520通り。すべて奇数の場合はないので、少なくとも一つが偶数となる場合は2520通り。

箱A, B, Cを区別する場合は2520通り。箱A, B, Cを区別しない場合は420通り。

和がすべて偶数の場合：114通り。和が全て奇数の場合は0通り。よって求めるものは2520 - 0 = 2520通り。

3. 最終的な答え

(1) 28通り

(2) 2520通り, 30通り

(3) 114通り、2520通り