与えられた積分を微分する問題を、微積分学の基本定理を用いて解きます。具体的には、以下の2つの問題を解きます。 (1) $\frac{d}{dx} \int_{1}^{x} \sin t \, dt$ (2) $\frac{d}{dx} \int_{x}^{0} e^{2t+3} \, dt$

1. 問題の内容

与えられた積分を微分する問題を、微積分学の基本定理を用いて解きます。具体的には、以下の2つの問題を解きます。

(1) $\frac{d}{dx} \int_{1}^{x} \sin t \, dt$

(2) $\frac{d}{dx} \int_{x}^{0} e^{2t+3} \, dt$

2. 解き方の手順

(1) 微積分学の基本定理によれば、$\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) \, dt = f(x)$ が成り立ちます。

この定理を(1)の問題に適用すると、

$\frac{d}{dx} \int_{1}^{x} \sin t \, dt = \sin x$

となります。

(2) (2)の問題では、積分の下端が変数 $x$ で、上端が定数 $0$ です。そこで、積分の順序を入れ替えることで、微積分学の基本定理を適用できるようにします。積分の順序を入れ替えると、積分の符号が反転します。つまり、

$\int_{x}^{0} e^{2t+3} \, dt = - \int_{0}^{x} e^{2t+3} \, dt$

したがって、

$\frac{d}{dx} \int_{x}^{0} e^{2t+3} \, dt = \frac{d}{dx} \left( - \int_{0}^{x} e^{2t+3} \, dt \right) = - \frac{d}{dx} \int_{0}^{x} e^{2t+3} \, dt$

微積分学の基本定理を適用すると、

$- \frac{d}{dx} \int_{0}^{x} e^{2t+3} \, dt = - e^{2x+3}$

となります。

3. 最終的な答え

(1) $\sin x$

(2) $-e^{2x+3}$