与えられた2つの極限の式が成り立つように、定数 $a$ と $b$ の値を決定する問題です。 (1) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + ax + b}{x-1} = 3$ (2) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 4x} + ax + b) = 5$

1. 問題の内容

与えられた2つの極限の式が成り立つように、定数 $a$ と $b$ の値を決定する問題です。

(1) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + ax + b}{x-1} = 3$

(2) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 4x} + ax + b) = 5$

2. 解き方の手順

(1)

極限が存在するため、分母が0に近づくとき分子も0に近づく必要があります。したがって、$x = 1$ を分子に代入すると、$1^2 + a(1) + b = 0$ となります。これから、$a + b = -1$ が得られます。つまり、$b = -a - 1$。

これを元の式に代入すると、

$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + ax - a - 1}{x-1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+a+1)}{x-1} = \lim_{x \to 1} (x+a+1) = 1 + a + 1 = a + 2$.

これが3に等しいので、$a + 2 = 3$。よって、$a = 1$。

$b = -a - 1 = -1 - 1 = -2$.

(2)

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 4x} + ax + b) = 5$

$\sqrt{x^2 + 4x} = \sqrt{x^2(1 + \frac{4}{x})} = |x|\sqrt{1 + \frac{4}{x}}$. $x \to \infty$ なので $|x| = x$ として良い。

$\sqrt{x^2 + 4x} = x\sqrt{1 + \frac{4}{x}} \approx x(1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{x}) = x + 2$.

$\lim_{x \to \infty} (x + 2 + ax + b) = \lim_{x \to \infty} ((1+a)x + (2+b)) = 5$

極限が有限の値を持つためには、$1 + a = 0$ である必要がある。したがって、$a = -1$。

すると、$\lim_{x \to \infty} (2+b) = 5$ なので、$2 + b = 5$。よって、$b = 3$。

3. 最終的な答え

(1) $a = 1$, $b = -2$

(2) $a = -1$, $b = 3$