関数 $f(x) = e^{2x+1}$ について、 (1) $f(x)$ の3階までの導関数 $f'(x), f''(x), f'''(x)$ をすべて求める。 (2) (1)の結果を用いて、$f(x) = e^{2x+1}$ の3次の近似多項式 $P_3(x)$ を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = e^{2x+1}$ について、

(1) $f(x)$ の3階までの導関数 $f'(x), f''(x), f'''(x)$ をすべて求める。

(2) (1)の結果を用いて、$f(x) = e^{2x+1}$ の3次の近似多項式 $P_3(x)$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 導関数を求める。

まず、$f(x) = e^{2x+1}$ の導関数 $f'(x)$ を求める。

$f'(x) = \frac{d}{dx} e^{2x+1} = 2e^{2x+1}$

次に、$f'(x) = 2e^{2x+1}$ の導関数 $f''(x)$ を求める。

$f''(x) = \frac{d}{dx} 2e^{2x+1} = 4e^{2x+1}$

最後に、$f''(x) = 4e^{2x+1}$ の導関数 $f'''(x)$ を求める。

$f'''(x) = \frac{d}{dx} 4e^{2x+1} = 8e^{2x+1}$

(2) 3次の近似多項式 $P_3(x)$ を求める。

マクローリン展開の式は

$P_n(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + ... + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$

である。

$f(x) = e^{2x+1}$ に $x=0$ を代入すると、$f(0) = e^{2(0)+1} = e^1 = e$

$f'(x) = 2e^{2x+1}$ に $x=0$ を代入すると、$f'(0) = 2e^{2(0)+1} = 2e^1 = 2e$

$f''(x) = 4e^{2x+1}$ に $x=0$ を代入すると、$f''(0) = 4e^{2(0)+1} = 4e^1 = 4e$

$f'''(x) = 8e^{2x+1}$ に $x=0$ を代入すると、$f'''(0) = 8e^{2(0)+1} = 8e^1 = 8e$

したがって、$P_3(x)$ は

$P_3(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3$

$= e + 2ex + \frac{4e}{2}x^2 + \frac{8e}{6}x^3$

$= e + 2ex + 2ex^2 + \frac{4}{3}ex^3$

3. 最終的な答え

(1)

$f'(x) = 2e^{2x+1}$

$f''(x) = 4e^{2x+1}$

$f'''(x) = 8e^{2x+1}$

(2)

$P_3(x) = e + 2ex + 2ex^2 + \frac{4}{3}ex^3$