与えられた極限の式が成り立つように、定数 $a$ と $b$ の値を求めます。 (1) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + ax + b}{x - 1} = 3$ (2) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 4x + ax + b} - x) = 5$

1. 問題の内容

与えられた極限の式が成り立つように、定数 $a$ と $b$ の値を求めます。

(1) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + ax + b}{x - 1} = 3$

(2) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 4x + ax + b} - x) = 5$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + ax + b}{x - 1} = 3$

$x \to 1$ のとき、分母が $0$ に近づくので、極限が存在するためには分子も $0$ に近づく必要があります。

したがって、$1^2 + a(1) + b = 0$ より、$1 + a + b = 0$。

これから、$b = -a - 1$ が得られます。

これを元の式に代入すると、

$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + ax - a - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1 + a(x - 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 1) + a(x - 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + 1 + a) = 1 + 1 + a = 2 + a = 3$

よって、$a = 1$。

$b = -a - 1 = -1 - 1 = -2$。

(2) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 4x + ax + b} - x) = 5$

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + (4+a)x + b} - x) = \lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^2 + (4+a)x + b} - x)(\sqrt{x^2 + (4+a)x + b} + x)}{\sqrt{x^2 + (4+a)x + b} + x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + (4+a)x + b - x^2}{\sqrt{x^2 + (4+a)x + b} + x} = \lim_{x \to \infty} \frac{(4+a)x + b}{\sqrt{x^2 + (4+a)x + b} + x}$

分子と分母を $x$ で割ると、

$\lim_{x \to \infty} \frac{4 + a + \frac{b}{x}}{\sqrt{1 + \frac{4+a}{x} + \frac{b}{x^2}} + 1} = \frac{4 + a}{\sqrt{1} + 1} = \frac{4 + a}{2} = 5$

$4 + a = 10$

$a = 6$

$b$ はこの極限に影響しないので、任意の値をとることができます。ここでは簡単のため $b = 0$ とします。

3. 最終的な答え

(1) $a = 1$, $b = -2$

(2) $a = 6$, $b = 0$（または任意の実数）