与えられた4つの式を計算する問題です。 (1) $\left| \sqrt{20} - 2 \right| + \left| \sqrt{5} - 3 \right|$ (2) $\sqrt{\pi^2 - 6\pi + 9} + \sqrt{\pi^2 - 8\pi + 16}$ (3) $\left| \frac{\sqrt{5} - 2}{-3 + \sqrt{5}} \right|$ (4) $\left| -2 + \sqrt{3}i \right| - \left| -\sqrt{6} - i \right|$

1. 問題の内容

与えられた4つの式を計算する問題です。

(1) $\left| \sqrt{20} - 2 \right| + \left| \sqrt{5} - 3 \right|$

(2) $\sqrt{\pi^2 - 6\pi + 9} + \sqrt{\pi^2 - 8\pi + 16}$

(3) $\left| \frac{\sqrt{5} - 2}{-3 + \sqrt{5}} \right|$

(4) $\left| -2 + \sqrt{3}i \right| - \left| -\sqrt{6} - i \right|$

2. 解き方の手順

(1)

$\sqrt{20} = \sqrt{4 \cdot 5} = 2\sqrt{5}$

$2\sqrt{5} - 2$ は正なので、$\left| 2\sqrt{5} - 2 \right| = 2\sqrt{5} - 2$

$\sqrt{5} - 3$ は負なので、$\left| \sqrt{5} - 3 \right| = -(\sqrt{5} - 3) = 3 - \sqrt{5}$

したがって、

$\left| \sqrt{20} - 2 \right| + \left| \sqrt{5} - 3 \right| = 2\sqrt{5} - 2 + 3 - \sqrt{5} = \sqrt{5} + 1$

(2)

$\pi^2 - 6\pi + 9 = (\pi - 3)^2$

$\pi^2 - 8\pi + 16 = (\pi - 4)^2$

$\sqrt{(\pi - 3)^2} = \left| \pi - 3 \right| = \pi - 3$ (なぜなら $\pi \approx 3.14 > 3$)

$\sqrt{(\pi - 4)^2} = \left| \pi - 4 \right| = 4 - \pi$ (なぜなら $\pi \approx 3.14 < 4$)

したがって、

$\sqrt{\pi^2 - 6\pi + 9} + \sqrt{\pi^2 - 8\pi + 16} = (\pi - 3) + (4 - \pi) = 1$

(3)

$\left| \frac{\sqrt{5} - 2}{-3 + \sqrt{5}} \right| = \left| \frac{\sqrt{5} - 2}{\sqrt{5} - 3} \right| = \frac{\left| \sqrt{5} - 2 \right|}{\left| \sqrt{5} - 3 \right|} = \frac{\sqrt{5} - 2}{3 - \sqrt{5}}$

分母の有理化を行う：

$\frac{\sqrt{5} - 2}{3 - \sqrt{5}} = \frac{(\sqrt{5} - 2)(3 + \sqrt{5})}{(3 - \sqrt{5})(3 + \sqrt{5})} = \frac{3\sqrt{5} + 5 - 6 - 2\sqrt{5}}{9 - 5} = \frac{\sqrt{5} - 1}{4}$

(4)

$\left| -2 + \sqrt{3}i \right| = \sqrt{(-2)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 3} = \sqrt{7}$

$\left| -\sqrt{6} - i \right| = \sqrt{(-\sqrt{6})^2 + (-1)^2} = \sqrt{6 + 1} = \sqrt{7}$

したがって、

$\left| -2 + \sqrt{3}i \right| - \left| -\sqrt{6} - i \right| = \sqrt{7} - \sqrt{7} = 0$

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{5} + 1$

(2) $1$

(3) $\frac{\sqrt{5} - 1}{4}$

(4) $0$