与えられた極限が特定の値になるように、定数 $a$ と $b$ の値を求める問題です。具体的には、以下の2つの極限に関する問題があります。 (1) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + ax + b}{x - 1} = 3$ (2) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 4x} - (ax + b)) = 5$

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、順番に解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた極限が特定の値になるように、定数 $a$ と $b$ の値を求める問題です。具体的には、以下の2つの極限に関する問題があります。

(1) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + ax + b}{x - 1} = 3$

(2) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 4x} - (ax + b)) = 5$

2. 解き方の手順

(1) について

極限 $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + ax + b}{x - 1} = 3$ が存在するためには、まず $x \to 1$ のとき、分母が0に近づくので、分子も0に近づく必要があります。したがって、

$1^2 + a(1) + b = 0$

$1 + a + b = 0$

$b = -a - 1$

この関係を元の式に代入すると、

$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + ax - a - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1 + a(x - 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 1) + a(x - 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + 1 + a) = 3$

$1 + 1 + a = 3$

$2 + a = 3$

$a = 1$

$b = -a - 1 = -1 - 1 = -2$

(2) について

極限 $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 4x} - (ax + b)) = 5$ が存在するためには、$\sqrt{x^2 + 4x}$ と $ax+b$ の $x$ のオーダーが等しくなければなりません。よって、$a>0$ でなければならない。

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 4x} - (ax + b)) = \lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^2 + 4x} - (ax + b))(\sqrt{x^2 + 4x} + (ax + b))}{\sqrt{x^2 + 4x} + (ax + b)} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 4x - (ax + b)^2}{\sqrt{x^2 + 4x} + (ax + b)} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 4x - (a^2x^2 + 2abx + b^2)}{\sqrt{x^2 + 4x} + (ax + b)}$

分子の$x^2$の係数が0になる必要があるので、$1 - a^2 = 0$。$a>0$ より、$a = 1$。

$\lim_{x \to \infty} \frac{(4 - 2b)x - b^2}{\sqrt{x^2 + 4x} + (x + b)} = \lim_{x \to \infty} \frac{(4 - 2b) - b^2/x}{\sqrt{1 + 4/x} + (1 + b/x)} = \frac{4 - 2b}{1 + 1} = \frac{4 - 2b}{2} = 2 - b = 5$

したがって、$b = -3$。

3. 最終的な答え

(1) $a = 1, b = -2$

(2) $a = 1, b = -3$