(1) 3次方程式 $x^3 + 3x^2 + 5x + 3 = 0$ を複素数の範囲で解く。ただし、$i$ を虚数単位とする。 (2) 中心が点 $(-4, 3)$ で、半径が 5 の円の方程式を求める。 (3) $\theta$ が鋭角で $\sin\theta = \frac{3}{5}$ のとき、$\sin 2\theta$ の値と $\cos 2\theta$ の値を求める。 (4) 第2項が12、第5項が768である等比数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。

1. 問題の内容

(1) 3次方程式 $x^3 + 3x^2 + 5x + 3 = 0$ を複素数の範囲で解く。ただし、$i$ を虚数単位とする。

(2) 中心が点 $(-4, 3)$ で、半径が 5 の円の方程式を求める。

(3) $\theta$ が鋭角で $\sin\theta = \frac{3}{5}$ のとき、$\sin 2\theta$ の値と $\cos 2\theta$ の値を求める。

(4) 第2項が12、第5項が768である等比数列 $\{a_n\}$ の一般項を求める。

2. 解き方の手順

(1) 3次方程式 $x^3 + 3x^2 + 5x + 3 = 0$ を解く。

まず、$x = -1$ を代入すると、$(-1)^3 + 3(-1)^2 + 5(-1) + 3 = -1 + 3 - 5 + 3 = 0$ となるので、$x = -1$ は解の一つである。

したがって、$x^3 + 3x^2 + 5x + 3$ は $x + 1$ で割り切れる。

実際に割り算を行うと、$x^3 + 3x^2 + 5x + 3 = (x + 1)(x^2 + 2x + 3)$ となる。

$x^2 + 2x + 3 = 0$ を解くと、$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(3)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 12}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-8}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}i}{2} = -1 \pm \sqrt{2}i$ となる。

したがって、3次方程式の解は $x = -1, -1 + \sqrt{2}i, -1 - \sqrt{2}i$ である。

(2) 中心が点 $(-4, 3)$ で、半径が 5 の円の方程式は $(x - (-4))^2 + (y - 3)^2 = 5^2$ より、$(x + 4)^2 + (y - 3)^2 = 25$ である。

(3) $\sin\theta = \frac{3}{5}$ より、$\cos\theta = \sqrt{1 - \sin^2\theta} = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$ （$\theta$ が鋭角なので $\cos\theta > 0$）。

$\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta = 2 \times \frac{3}{5} \times \frac{4}{5} = \frac{24}{25}$

$\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta = (\frac{4}{5})^2 - (\frac{3}{5})^2 = \frac{16}{25} - \frac{9}{25} = \frac{7}{25}$

(4) 等比数列 $\{a_n\}$ の一般項を $a_n = ar^{n-1}$ とおく。

第2項が12なので、$a_2 = ar = 12$

第5項が768なので、$a_5 = ar^4 = 768$

$ar^4 / ar = r^3 = 768/12 = 64$

よって、$r = \sqrt[3]{64} = 4$

$ar = 12$ より、$a = 12/r = 12/4 = 3$

したがって、$a_n = 3 \times 4^{n-1}$

3. 最終的な答え

(1) $x = -1, -1 + \sqrt{2}i, -1 - \sqrt{2}i$

(2) $(x + 4)^2 + (y - 3)^2 = 25$

(3) $\sin 2\theta = \frac{24}{25}$, $\cos 2\theta = \frac{7}{25}$

(4) $a_n = 3 \times 4^{n-1}$