(1) ① $x = 7 + \sqrt{5}$ , $y = 7 - \sqrt{5}$ のとき、$x^2 - y^2$ の値を求めます。 ② $x = \sqrt{2} + 1$ , $y = \sqrt{2} - 1$ のとき、$x^2 - 2xy + y^2$ の値を求めます。 (2) $\sqrt{19}$ の整数部分を $a$ とするとき、 ① $a^2 - 2a - 15$ の値を求めます。 ② $a^2 + \frac{1}{3}a + 2$ の値を求めます。

1. 問題の内容

(1)

① $x = 7 + \sqrt{5}$ , $y = 7 - \sqrt{5}$ のとき、$x^2 - y^2$ の値を求めます。

② $x = \sqrt{2} + 1$ , $y = \sqrt{2} - 1$ のとき、$x^2 - 2xy + y^2$ の値を求めます。

(2) $\sqrt{19}$ の整数部分を $a$ とするとき、

① $a^2 - 2a - 15$ の値を求めます。

② $a^2 + \frac{1}{3}a + 2$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

① $x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$ を利用します。

$x + y = (7 + \sqrt{5}) + (7 - \sqrt{5}) = 14$

$x - y = (7 + \sqrt{5}) - (7 - \sqrt{5}) = 2\sqrt{5}$

したがって、

$x^2 - y^2 = (14)(2\sqrt{5}) = 28\sqrt{5}$

② $x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2$ を利用します。

$x - y = (\sqrt{2} + 1) - (\sqrt{2} - 1) = 2$

したがって、

$(x-y)^2 = 2^2 = 4$

(2)

$\sqrt{19}$ の整数部分を $a$ とするとき、

$4^2 = 16$ , $5^2 = 25$ より、$4 < \sqrt{19} < 5$ なので、$a = 4$ です。

① $a^2 - 2a - 15$ に $a = 4$ を代入します。

$4^2 - 2(4) - 15 = 16 - 8 - 15 = 8 - 15 = -7$

② $a^2 + \frac{1}{3}a + 2$ に $a = 4$ を代入します。

$4^2 + \frac{1}{3}(4) + 2 = 16 + \frac{4}{3} + 2 = 18 + \frac{4}{3} = \frac{54}{3} + \frac{4}{3} = \frac{58}{3}$

3. 最終的な答え

(1)

① $28\sqrt{5}$

② $4$

(2)

① $-7$

② $\frac{58}{3}$