与えられた極限の式が成り立つように、定数 $a$, $b$ の値を求める問題です。 (1) $\lim_{x\to1} \frac{x^2+ax+b}{x-1}=3$ (2) $\lim_{x\to\infty} (\sqrt{x^2+4x+ax+b}-x)=5$

1. 問題の内容

与えられた極限の式が成り立つように、定数 $a$, $b$ の値を求める問題です。

(1) $\lim_{x\to1} \frac{x^2+ax+b}{x-1}=3$

(2) $\lim_{x\to\infty} (\sqrt{x^2+4x+ax+b}-x)=5$

2. 解き方の手順

(1)

極限 $\lim_{x\to1} \frac{x^2+ax+b}{x-1}=3$ が存在するためには、分子 $x^2+ax+b$ は $x-1$ を因数に持つ必要があります。つまり、$x=1$ を代入すると分子が0になる必要があります。

$1^2+a(1)+b = 0$

$1+a+b = 0$

$b = -a-1$

これを元の式に代入します。

$\lim_{x\to1} \frac{x^2+ax-a-1}{x-1}=3$

$\lim_{x\to1} \frac{(x-1)(x+a+1)}{x-1}=3$

$\lim_{x\to1} (x+a+1)=3$

$1+a+1=3$

$a+2=3$

$a=1$

$b = -a-1 = -1-1 = -2$

したがって、$a=1$, $b=-2$

(2)

極限 $\lim_{x\to\infty} (\sqrt{x^2+4x+ax+b}-x)=5$ を考えます。

まず、$\sqrt{x^2+4x+ax+b}-x$ を有理化します。

$\sqrt{x^2+(4+a)x+b}-x = \frac{(\sqrt{x^2+(4+a)x+b}-x)(\sqrt{x^2+(4+a)x+b}+x)}{\sqrt{x^2+(4+a)x+b}+x}$

$= \frac{x^2+(4+a)x+b-x^2}{\sqrt{x^2+(4+a)x+b}+x}$

$= \frac{(4+a)x+b}{\sqrt{x^2+(4+a)x+b}+x}$

これを $x$ で割ります。

$= \frac{(4+a)+\frac{b}{x}}{\sqrt{1+\frac{4+a}{x}+\frac{b}{x^2}}+1}$

$x\to\infty$ のとき、$\frac{1}{x}\to0$, $\frac{1}{x^2}\to0$ なので、

$\lim_{x\to\infty} \frac{(4+a)+\frac{b}{x}}{\sqrt{1+\frac{4+a}{x}+\frac{b}{x^2}}+1} = \frac{4+a}{\sqrt{1}+1}$

$= \frac{4+a}{2}$

この極限が $5$ に等しいので、

$\frac{4+a}{2} = 5$

$4+a = 10$

$a = 6$

$b$ の値は極限に影響しないので任意の値を取ります。よって、$b$は任意の値をとります。

ここではb=0としておきます。

3. 最終的な答え

(1) $a=1$, $b=-2$

(2) $a=6$, $b$は任意。ここでは$b=0$とします。