与えられた関数について、$\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。 (1) と (2) では $y$ を用いて表しても良いとされています。 (3) では $t$ の関数として $\frac{dy}{dx}$ を表すことが求められています。 関数は次の通りです。 (1) $x^2 + 3xy - y^2 = 1$ (2) $x = \cos y$ (3) $x = \frac{1 + t^2}{1 - t^2}, y = \frac{2t}{1 - t^2}$

1. 問題の内容

与えられた関数について、$\frac{dy}{dx}$ を求める問題です。

(1) と (2) では $y$ を用いて表しても良いとされています。

(3) では $t$ の関数として $\frac{dy}{dx}$ を表すことが求められています。

関数は次の通りです。

(1) $x^2 + 3xy - y^2 = 1$

(2) $x = \cos y$

(3) $x = \frac{1 + t^2}{1 - t^2}, y = \frac{2t}{1 - t^2}$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 + 3xy - y^2 = 1$ の場合:

陰関数微分を行います。両辺を $x$ で微分します。

$\frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(3xy) - \frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(1)$

$2x + 3(y + x\frac{dy}{dx}) - 2y\frac{dy}{dx} = 0$

$2x + 3y + 3x\frac{dy}{dx} - 2y\frac{dy}{dx} = 0$

$\frac{dy}{dx}(3x - 2y) = -2x - 3y$

$\frac{dy}{dx} = \frac{-2x - 3y}{3x - 2y} = \frac{2x + 3y}{2y - 3x}$

(2) $x = \cos y$ の場合:

両辺を $x$ で微分します。

$\frac{d}{dx}(x) = \frac{d}{dx}(\cos y)$

$1 = -\sin y \frac{dy}{dx}$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sin y}$

$\sin^2 y + \cos^2 y = 1$ より、$\sin y = \sqrt{1 - \cos^2 y}$

$\cos y = x$ なので、$\sin y = \sqrt{1 - x^2}$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

(3) $x = \frac{1 + t^2}{1 - t^2}, y = \frac{2t}{1 - t^2}$ の場合:

まず、$\frac{dx}{dt}$ と $\frac{dy}{dt}$ を求めます。

$\frac{dx}{dt} = \frac{2t(1 - t^2) - (1 + t^2)(-2t)}{(1 - t^2)^2} = \frac{2t - 2t^3 + 2t + 2t^3}{(1 - t^2)^2} = \frac{4t}{(1 - t^2)^2}$

$\frac{dy}{dt} = \frac{2(1 - t^2) - 2t(-2t)}{(1 - t^2)^2} = \frac{2 - 2t^2 + 4t^2}{(1 - t^2)^2} = \frac{2 + 2t^2}{(1 - t^2)^2} = \frac{2(1 + t^2)}{(1 - t^2)^2}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} = \frac{\frac{2(1 + t^2)}{(1 - t^2)^2}}{\frac{4t}{(1 - t^2)^2}} = \frac{2(1 + t^2)}{4t} = \frac{1 + t^2}{2t}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{2x + 3y}{2y - 3x}$

(2) $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$

(3) $\frac{dy}{dx} = \frac{1 + t^2}{2t}$