与えられた極限の式が成り立つように、定数 $a, b$ の値を求める。問題は2つあり、それぞれ以下の通り。 (1) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + ax + b}{x-1} = 3$ (2) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+4x} + ax + b) = 5$

1. 問題の内容

与えられた極限の式が成り立つように、定数 $a, b$ の値を求める。問題は2つあり、それぞれ以下の通り。

(1) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + ax + b}{x-1} = 3$

(2) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+4x} + ax + b) = 5$

2. 解き方の手順

(1)

まず、$x \to 1$ のとき、分母が0に近づくので、極限が存在するためには分子も0に近づく必要がある。つまり、

$1^2 + a(1) + b = 0$

$1 + a + b = 0$

$b = -a - 1$

これを極限の式に代入する。

$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + ax -a - 1}{x-1} = \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1 + a(x - 1)}{x-1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1) + a(x-1)}{x-1} = \lim_{x \to 1} (x+1 + a) = 1+1+a = 2+a = 3$

$a = 1$

$b = -a - 1 = -1 - 1 = -2$

(2)

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+4x} + ax + b) = 5$

$x \to \infty$ であれば$\sqrt{x^2+4x}$は $x$ のオーダーになるので、もし $a \neq -1$ だと無限大に発散するか、マイナス無限大に発散する。よって $a = -1$ でなければならない。

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+4x} - x + b) = 5$

$\lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^2+4x} - x)(\sqrt{x^2+4x} + x)}{\sqrt{x^2+4x} + x} + b = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2+4x - x^2}{\sqrt{x^2+4x} + x} + b = \lim_{x \to \infty} \frac{4x}{\sqrt{x^2(1+\frac{4}{x})} + x} + b = \lim_{x \to \infty} \frac{4x}{x\sqrt{1+\frac{4}{x}} + x} + b = \lim_{x \to \infty} \frac{4}{\sqrt{1+\frac{4}{x}} + 1} + b = \frac{4}{1+1} + b = 2 + b = 5$

$b = 3$

3. 最終的な答え

(1) $a=1, b=-2$

(2) $a=-1, b=3$